(6 pontos) Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+3 x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=5 x_{1}(t)+x_{2}(t) \end{array}\right.

Passo 1

O sistema
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{1}(t)+3x_{2}(t),\\\ x_{2}'(t)=5x_{1}(t)+x_{2}(t) \end{cases}
é um sistema linear homogêneo de primeira ordem da forma \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t), onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2})^{T}. Vamos resolver por autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Montamos a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt]5 & 1\end{pmatrix}
e calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Temos
\det\!\bigl(\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\[3pt]5 & 1-\lambda\end{pmatrix}\bigr) =(1-\lambda)^{2}-15 =\lambda^{2}-2\lambda-14.
Igualando a zero,
\lambda^{2}-2\lambda-14=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\pm\sqrt{15}.]

Passo 3

Para \lambda_{1}=1+\sqrt{15}, resolvemos
(A-\lambda_{1}I)\mathbf{v}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-\sqrt{15} & 3\\[3pt]5 & -\sqrt{15}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; -\sqrt{15}\,v_{1}+3\,v_{2}=0
escolhendo v_{1}=3 obtemos v_{2}=\sqrt{15}. Assim \mathbf{v}_{1}=(3,\sqrt{15})^{T}.
Para \lambda_{2}=1-\sqrt{15}, fazemos
(A-\lambda_{2}I)\mathbf{v}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}\sqrt{15} & 3\\[3pt]5 & \sqrt{15}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; \sqrt{15}\,v_{1}+3\,v_{2}=0
escolhendo v_{1}=3 obtemos v_{2}=-\sqrt{15}. Logo \mathbf{v}_{2}=(3,-\sqrt{15})^{T}.]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções
\mathbf{x}_{1}(t)=e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1} e
\mathbf{x}_{2}(t)=e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2}. Assim
\mathbf{x}(t) =C_{1}\,e^{(1+\sqrt{15})t}\begin{pmatrix}3\\sqrt{15}\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{(1-\sqrt{15})t}\begin{pmatrix}3\\\ -\sqrt{15}\end{pmatrix},
com constantes C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{ \begin{pmatrix} x_{1}(t)\\[3pt] x_{2}(t) \end{pmatrix} = C_{1}\,e^{(1+\sqrt{15})t} \begin{pmatrix}3\\sqrt{15}\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{(1-\sqrt{15})t} \begin{pmatrix}3\\\ -\sqrt{15}\end{pmatrix}, \quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. }]

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