(6 pontos) Resolva o seguinte PVI utilizando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}(t)=\sin (a t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \quad \text { para } a>0
Dica: use o conceito de convolução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t)=\sin(a t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0,
usando transformada de Laplace e o conceito de convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como y(0)=y'(0)=0, tem-se
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^2Y(s) \quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^2+a^2}.
Logo,
s^2Y(s)=\frac{a}{s^2+a^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{a}{s^2\,(s^2+a^2)}.

Passo 3

Reescrevemos Y(s) como produto de duas transformadas conhecidas:
Y(s) =\frac{a}{s^2+a^2}\;\cdot\;\frac{1}{s^2}.
Chamando
\displaystyle G(s)=\frac{a}{s^2+a^2} e \displaystyle H(s)=\frac{1}{s^2},
temos as inversas
\displaystyle g(t)=\sin(a t) e \displaystyle h(t)=t.

Passo 4

Pelo teorema da convolução,
y(t)=\bigl(g*h\bigr)(t) =\int_{0}^{t}g(u)\,h(t-u)\,du =\int_{0}^{t}\sin(a u)\,(t-u)\,du.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{t}\sin(a u)\,(t-u)\,du = t\int_{0}^{t}\sin(a u)\,du \;-\;\int_{0}^{t}u\sin(a u)\,du,
note que
\int_{0}^{t}\sin(a u)\,du =-\frac{\cos(a u)}{a}\Big|_{0}^{t} =\frac{1-\cos(a t)}{a},
e por partes
\int_{0}^{t}u\sin(a u)\,du =-\frac{u\cos(a u)}{a}\Big|_{0}^{t} +\frac{1}{a}\int_{0}^{t}\cos(a u)\,du =-\frac{t\cos(a t)}{a}+\frac{\sin(a t)}{a^2}.
Substituindo,
y(t) =t\cdot\frac{1-\cos(a t)}{a} -\Bigl(-\frac{t\cos(a t)}{a}+\frac{\sin(a t)}{a^2}\Bigr) =\frac{t}{a}-\frac{\sin(a t)}{a^2}.

Resposta

y(t)=\frac{t}{a}-\frac{\sin(a t)}{a^2}.

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