Responda aos itens a seguir:
Calcule a transformada de Laplace da função
f(t)=\sin (\pi t) \cos (\pi t)-\cos ^{2}(\pi t)+\sin ^{2}(\pi t)
Dica: use identidades trigonométricas.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\sin(\pi t)\cos(\pi t)\;-\;\cos^{2}(\pi t)\;+\;\sin^{2}(\pi t).
Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar f(t) e depois aplicar as fórmulas conhecidas de \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} e \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}.

Passo 2

Usamos as identidades
\sin(x)\cos(x)=\tfrac12\sin(2x), \qquad \sin^{2}(x)-\cos^{2}(x)=-\cos(2x).
Tomando x=\pi t, temos
\sin(\pi t)\cos(\pi t)=\tfrac12\sin(2\pi t), \qquad \sin^{2}(\pi t)-\cos^{2}(\pi t)=-\cos(2\pi t).
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f(t)=\tfrac12\sin(2\pi t)\;-\;\cos(2\pi t).

Passo 3

Recordando as transformadas básicas:
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Aqui \omega=2\pi.

Passo 4

Pela linearidade de \mathcal{L}\{\cdot\}:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{\tfrac12\sin(2\pi t)\} \;-\;\mathcal{L}\{\cos(2\pi t)\}.
Aplicando cada parte:
\mathcal{L}\{\tfrac12\sin(2\pi t)\} =\tfrac12\cdot\frac{2\pi}{s^{2}+(2\pi)^{2}} =\frac{\pi}{s^{2}+4\pi^{2}},
\mathcal{L}\{\cos(2\pi t)\} =\frac{s}{s^{2}+4\pi^{2}}.

Passo 5

Subtraindo as duas parcelas:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{\pi}{s^{2}+4\pi^{2}} \;-\;\frac{s}{s^{2}+4\pi^{2}} =\frac{\pi - s}{s^{2}+4\pi^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{\pi - s}{s^{2}+4\pi^{2}}.

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