Beleza! O que temos aqui é um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O objetivo é encontrar as funções e que satisfazem as duas equações dadas, além das condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs, como a matriz dos coeficientes e possivelmente a regra de Cramer.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a visualização:
D x - y = -1 3 x + (D - 2) y = 0
Aqui, representa o operador derivada em relação ao tempo , ou seja, e .
Passo 3
Vamos representar o sistema de forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das derivadas e das variáveis em uma matriz. O sistema fica assim:
[ D & -1 3 & D - 2 x y = -1 0
]
Passo 4
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes e utilizá-lo para resolver para De e . O determinante da matriz é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as expressões para De e x = De usando a regra de Cramer. Para De:
y = De
Então,
Para :
Então,
Passo 6
Para resolver as equações para e , precisamos fazer a inversão dos operadores. Reconhecemos que essas frações representam transformadas de Laplace. Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo.
Passo 7
Calculando a transformada inversa, encontramos:
x(t) = -1D^2 - 2D + 3 cdot D + 2D^2 - 2D + 3
y(t) = 3D^2 - 2D + 3
Resolvendo essas expressões, aplicando parciais fracionários e simplificando, obtemos as soluções específicas para e que satisfazem as condições iniciais.