( 5,0 pontos) Resolva o sistema de EDO lD x-y=-1 3 x+(D-2) y=0 x(0)=y(0)=0

Passo 1

Beleza! O que temos aqui é um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O objetivo é encontrar as funções e que satisfazem as duas equações dadas, além das condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs, como a matriz dos coeficientes e possivelmente a regra de Cramer.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a visualização:
D x - y = -1 3 x + (D - 2) y = 0
Aqui, representa o operador derivada em relação ao tempo , ou seja, e .

Passo 3

Vamos representar o sistema de forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das derivadas e das variáveis em uma matriz. O sistema fica assim:

[
D & -1 3 & D - 2 x y = -1 0


]

Passo 4

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes e utilizá-lo para resolver para De e . O determinante da matriz é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as expressões para De e x = De usando a regra de Cramer. Para De:
y = De
Então,
Para :
Então,

Passo 6

Para resolver as equações para e , precisamos fazer a inversão dos operadores. Reconhecemos que essas frações representam transformadas de Laplace. Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo.

Passo 7

Calculando a transformada inversa, encontramos:
x(t) = -1D^2 - 2D + 3 cdot D + 2D^2 - 2D + 3
y(t) = 3D^2 - 2D + 3
Resolvendo essas expressões, aplicando parciais fracionários e simplificando, obtemos as soluções específicas para e que satisfazem as condições iniciais.

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = e^t - e^-t
y(t) = 3e^-t

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