Nos Problemas 23 e 24, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema 23 juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais com duas variáveis,
e
, e algumas condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares e vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar os valores e vetores próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Isso é um sistema linear porque as equações são de primeiro grau nas variáveis
e
.
Passo 3
Vamos colocar esse sistema em forma de matriz. Assim, podemos representá-lo como:
[
\frac{d}{dt}
]
Essa matriz dos coeficientes vai nos ajudar a encontrar os valores próprios.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores próprios (
) resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um valor próprio duplo:
.
Passo 6
Com o valor próprio
, agora encontramos o vetor próprio. Resolvendo:
[
]
Isso dá a equação
, então
. Podemos escolher
, assim
.
Passo 7
Como temos um valor próprio duplo, precisamos de uma solução geral que inclui um termo adicional. A solução geral fica:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais:
e
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Oops, isso não faz sentido! Parece que tivemos um erro. Vamos revisar.
Passo 9
Na verdade, ao aplicar as condições iniciais, precisamos considerar que a segunda solução pode envolver um termo adicional devido ao valor próprio duplo. A solução completa é:
Aplicando
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
As soluções são:
Portanto, a solução do sistema é: