Nos Problemas 23 e 24, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
23 d xd t=-5 x-y d yd t=4 x-y x(1)=0, y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema 23 juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais com duas variáveis, e , e algumas condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares e vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar os valores e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
dxdt = -5x - y dydt = 4x - y
Isso é um sistema linear porque as equações são de primeiro grau nas variáveis e .

Passo 3

Vamos colocar esse sistema em forma de matriz. Assim, podemos representá-lo como:
[
\frac{d}{dt}
ddt x y = -5 & -1 4 & -1 x y



]
Essa matriz dos coeficientes vai nos ajudar a encontrar os valores próprios.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores próprios ( det -5 - lambda & -1 4 & -1 - lambda = 0 ) resolvendo o determinante:
(-5 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(4) = 0 (lambda + 5)(lambda + 1) + 4 = 0 lambda^2 + 6lambda + 5 + 4 = 0 lambda^2 + 6lambda + 9 = 0
Calculando o determinante:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = -6 pm raiz36 - 362 = -62 = -3
Então, temos um valor próprio duplo: .

Passo 6

Com o valor próprio -5 - (-3) & -1 4 & -1 - (-3) v1 v2 = -2 & -1 4 & 2 v1 v2 = 0 0 , agora encontramos o vetor próprio. Resolvendo:
[
1 -2



]
Isso dá a equação , então . Podemos escolher , assim .

Passo 7

Como temos um valor próprio duplo, precisamos de uma solução geral que inclui um termo adicional. A solução geral fica:
x(t) = (C1 + C2 t)e^-3t y(t) = (-2C1 - 2C2 t)e^-3t
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais: 0 = (C1 + C2 cdot 1)e^-3 cdot 1 0 = C1 + C2 e 1 = (-2C1 - 2C2 cdot 1)e^-3 cdot 1 1 = (-2(-C2) - 2C2)e^-3 1 = (2C2 - 2C2)e^-3 1 = 0 times e^-3 .
Para :
Então, .
Para :
Oops, isso não faz sentido! Parece que tivemos um erro. Vamos revisar.

Passo 9

Na verdade, ao aplicar as condições iniciais, precisamos considerar que a segunda solução pode envolver um termo adicional devido ao valor próprio duplo. A solução completa é:
x(t) = (C1 + C2 t)e^-3t y(t) = (-2C1 + ( -2C2 + C2 t) )e^-3t
Aplicando 0 = (C1 + C2) e^-3 Rightarrow C1 = -C2 :
1 = (-2(-C2) + (-2C2 + C2 cdot 1)) e^-3 1 = (2C2 - 2C2 + C2) e^-3 1 = C2 e^-3 Rightarrow C2 = e^3
Aplicando :
Então, .

Resposta

As soluções são:
x(t) = (-e^3 + e^3 t) e^-3t = e^3(t -1) e^-3t = (t -1) e^0 = t -1 y(t) = (-2(-e^3) + (-2e^3 + e^3 t)) e^-3t = (2e^3 -2e^3 + e^3 t) e^-3t = e^3 t e^-3t = t
Portanto, a solução do sistema é:
x(t) = t - 1 y(t) = t

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