Sejam
e
conjunto de números reais positivos. Definamos
e
. Prove que:
e
.
Passo 1
O enunciado nos diz que A e B são conjuntos de reais positivos e define A\cdot B = {x\cdot y; x \in A, y \in B}. Queremos provar que supondo α = sup A e β = sup B, então sup(A\cdot B) = α·β; e, analogamente, definindo m = inf A e n = inf B, mostraremos que inf(A\cdot B) = m·n.
Conteúdos que vamos usar: definição de supremo e ínfimo, propriedade de ordem de números reais e o fato de que a multiplicação é monótona em R+.
Conteúdos que vamos usar: definição de supremo e ínfimo, propriedade de ordem de números reais e o fato de que a multiplicação é monótona em R+.
Passo 2
Denotemos α = sup A e β = sup B. Primeiro mostramos que αβ é limite superior de A\cdot B. Seja x\in A e y\in B. Como x ≤ α e y ≤ β, temos x·y ≤ α·β. Portanto αβ é cota superior.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que αβ é o menor de todos os cotas superiores. Pegue ε > 0. Como α = sup A, existe x₀ em A tal que x₀ > α – η. E como β = sup B, existe y₀ em B tal que y₀ > β – η, onde escolhemos η > 0 pequeno a ponto de exceder em produto no máximo ε. Mais precisamente, escolhemos η > 0 de modo que
Passo 4
Então com x₀ > α – η e y₀ > β – η, temos
Passo 5
Isso mostra que em A\cdot B há elementos arbitrariamente próximos de αβ por baixo, logo αβ = sup(A\cdot B).
Passo 6
Agora façamos a versão para o ínfimo. Seja m = inf A e n = inf B. Como x ≥ m e y ≥ n, segue x·y ≥ m·n, logo m·n é cota inferior de A\cdot B.
Passo 7
Para mostrar que é o maior cota inferior, tome ε > 0. Como m = inf A, existe x₁ em A com x₁ < m + η, e como n = inf B, existe y₁ em B com y₁ < n + η, onde escolhemos η pequeno de modo a satisfazer
Passo 8
Então x₁y₁ < mn + ε, o que mostra que há elementos de A\cdot B arbitrariamente próximos de mn por cima. Assim m·n = inf(A\cdot B).
Resposta
sup(A\cdot B) = sup A \cdot sup B e inf(A\cdot B) = inf A \cdot inf B