Sejam A e B conjunto de números reais positivos. Definamos A cdot B=x cdot y ; x in A e y in Y. Prove que: sup (A cdot B)=sup A cdot sup B e inf (A cdot B)=inf A cdot inf B.

Passo 1

O enunciado nos diz que A e B são conjuntos de reais positivos e define A\cdot B = {x\cdot y; x \in A, y \in B}. Queremos provar que supondo α = sup A e β = sup B, então sup(A\cdot B) = α·β; e, analogamente, definindo m = inf A e n = inf B, mostraremos que inf(A\cdot B) = m·n.
Conteúdos que vamos usar: definição de supremo e ínfimo, propriedade de ordem de números reais e o fato de que a multiplicação é monótona em R+.

Passo 2

Denotemos α = sup A e β = sup B. Primeiro mostramos que αβ é limite superior de A\cdot B. Seja x\in A e y\in B. Como x ≤ α e y ≤ β, temos x·y ≤ α·β. Portanto αβ é cota superior.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que αβ é o menor de todos os cotas superiores. Pegue ε > 0. Como α = sup A, existe x₀ em A tal que x₀ > α – η. E como β = sup B, existe y₀ em B tal que y₀ > β – η, onde escolhemos η > 0 pequeno a ponto de exceder em produto no máximo ε. Mais precisamente, escolhemos η > 0 de modo que
αβ (α η)(β η) = αβ (αβ η(α + β) + η²) = η(α + β) η² < ε ²²

Passo 4

Então com x₀ > α – η e y₀ > β – η, temos
x₀y₀ > (α η)(β η) > αβ ε

Passo 5

Isso mostra que em A\cdot B há elementos arbitrariamente próximos de αβ por baixo, logo αβ = sup(A\cdot B).

Passo 6

Agora façamos a versão para o ínfimo. Seja m = inf A e n = inf B. Como x ≥ m e y ≥ n, segue x·y ≥ m·n, logo m·n é cota inferior de A\cdot B.

Passo 7

Para mostrar que é o maior cota inferior, tome ε > 0. Como m = inf A, existe x₁ em A com x₁ < m + η, e como n = inf B, existe y₁ em B com y₁ < n + η, onde escolhemos η pequeno de modo a satisfazer
(m + η)(n + η) mn = mn + η(m + n) + η² mn = η(m + n) + η² < ε ²²

Passo 8

Então x₁y₁ < mn + ε, o que mostra que há elementos de A\cdot B arbitrariamente próximos de mn por cima. Assim m·n = inf(A\cdot B).

Resposta

sup(A\cdot B) = sup A \cdot sup B e inf(A\cdot B) = inf A \cdot inf B

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