(3 pontos) Resolva o sistema linear a seguir pelo método iterativo Gauss Jacobi ou Gause-Seidel com condiçīo inticial x^{0}=(0.7,-1.6,0.6) \mathrm{e} \in=0.3.
e pede que resolvamos por um método iterativo (Gauss–Jacobi ou Gauss–Seidel) a partir da condição inicial x^{0}=(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6) e com tolerância \varepsilon=0{,}3.
Critério de parada com tolerância \displaystyle \varepsilon=0{,}3 (vamos usar a norma infinito da diferença entre iterações como critério: parar quando \|x^{k+1}-x^{k}\|_{\infty}<\varepsilon).
A escolha entre os dois métodos está aberta (Gauss–Jacobi ou Gauss–Seidel).]
Passo 2
Escolha do método e porquê.
Vou usar o método de Gauss–Seidel. Por quê? Gauss–Seidel é tão simples quanto Jacobi, mas aproveita os valores já atualizados dentro da mesma iteração e normalmente converge mais rápido (menos iterações). Como o enunciado deixou as duas opções, escolher Gauss–Seidel é uma boa estratégia em prova para reduzir cálculos. Se por algum motivo você precisar do método Jacobi, o procedimento é parecido, só que Jacobi usa apenas os valores da iteração anterior para atualizar todas as componentes.
Critério de parada que vou usar: calcular \|x^{k+1}-x^{k}\|_{\infty}=\max_{i}|x^{k+1}_i-x^{k}_i| e parar quando esse valor for menor que \varepsilon=0{,}3.
Regra do Gauss–Seidel: ao calcular x_{1}^{k+1} usamos x_{2}^{k} e x_{3}^{k}; ao calcular x_{2}^{k+1} já usamos x_{1}^{k+1} (valor recém-calculado) e x_{3}^{k}; ao calcular x_{3}^{k+1} usamos x_{1}^{k+1} e x_{2}^{k+1}. Vou aplicar exatamente essas fórmulas com o vetor inicial dado.
Passo 4
Iteração k=0\to k=1 (primeira iteração com x^{0}=(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6)) — faço as contas devagar para você poder reproduzir na prova.
Calcular x_{1}^{1} usando x_{2}^{0}=-1{,}6 e x_{3}^{0}=0{,}6:
Agora 0{,}081168<\varepsilon(=0{,}3), logo atingimos o critério de parada e podemos aceitar x^{2} como solução aproximada com a tolerância exigida.
Passo 6
Interpretação final e dica prática.
Parámos na segunda iteração porque a máxima variação entre x^{2} e x^{1} ficou abaixo de \varepsilon=0{,}3.
Na prova: escreva as fórmulas isoladas para cada incógnita, deixe explícito o vetor inicial e o critério de parada (a norma infinito é uma escolha comum), faça as contas passo a passo e mostre o cálculo da norma para justificar a parada.
Se pedirem maior precisão, continue iterando até a diferença ser menor que a nova tolerância.