(3 pontos) Resolva o sistema linear a seguir pelo método iterativo Gauss Jacobi ou Gause-Seidel com condiçīo inticial x^{0}=(0.7,-1.6,0.6) \mathrm{e} \in=0.3.
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6 \end{cases}
e pede que resolvamos por um método iterativo (Gauss–Jacobi ou Gauss–Seidel) a partir da condição inicial x^{0}=(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6) e com tolerância \varepsilon=0{,}3.
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações do sistema (já escritas acima).
  • Vetor inicial \displaystyle x^{0}=\bigl(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6\bigr).
  • Critério de parada com tolerância \displaystyle \varepsilon=0{,}3 (vamos usar a norma infinito da diferença entre iterações como critério: parar quando \|x^{k+1}-x^{k}\|_{\infty}<\varepsilon).
  • A escolha entre os dois métodos está aberta (Gauss–Jacobi ou Gauss–Seidel).]

Passo 2

Escolha do método e porquê.
Vou usar o método de Gauss–Seidel. Por quê? Gauss–Seidel é tão simples quanto Jacobi, mas aproveita os valores já atualizados dentro da mesma iteração e normalmente converge mais rápido (menos iterações). Como o enunciado deixou as duas opções, escolher Gauss–Seidel é uma boa estratégia em prova para reduzir cálculos. Se por algum motivo você precisar do método Jacobi, o procedimento é parecido, só que Jacobi usa apenas os valores da iteração anterior para atualizar todas as componentes.
Critério de parada que vou usar: calcular \|x^{k+1}-x^{k}\|_{\infty}=\max_{i}|x^{k+1}_i-x^{k}_i| e parar quando esse valor for menor que \varepsilon=0{,}3.

Passo 3

Derivar as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel.
Isolamos cada incógnita em sua equação:
Da primeira equação:
10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{7-2x_{2}-x_{3}}{10}.
Da segunda:
x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{-8-x_{1}-x_{3}}{5}.
Da terceira:
2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{6-2x_{1}-3x_{2}}{10}.
Regra do Gauss–Seidel: ao calcular x_{1}^{k+1} usamos x_{2}^{k} e x_{3}^{k}; ao calcular x_{2}^{k+1} já usamos x_{1}^{k+1} (valor recém-calculado) e x_{3}^{k}; ao calcular x_{3}^{k+1} usamos x_{1}^{k+1} e x_{2}^{k+1}. Vou aplicar exatamente essas fórmulas com o vetor inicial dado.

Passo 4

Iteração k=0\to k=1 (primeira iteração com x^{0}=(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6)) — faço as contas devagar para você poder reproduzir na prova.
  1. Calcular x_{1}^{1} usando x_{2}^{0}=-1{,}6 e x_{3}^{0}=0{,}6:
x_{1}^{1}=\frac{7-2x_{2}^{0}-x_{3}^{0}}{10} =\frac{7-2(-1{,}6)-0{,}6}{10} =\frac{7+3{,}2-0{,}6}{10} =\frac{9{,}6}{10}=0{,}96.
  1. Calcular x_{2}^{1} usando x_{1}^{1}=0{,}96 (já atualizado) e x_{3}^{0}=0{,}6:
x_{2}^{1}=\frac{-8-x_{1}^{1}-x_{3}^{0}}{5} =\frac{-8-0{,}96-0{,}6}{5} =\frac{-9{,}56}{5}=-1{,}912.
  1. Calcular x_{3}^{1} usando x_{1}^{1}=0{,}96 e x_{2}^{1}=-1{,}912:
x_{3}^{1}=\frac{6-2x_{1}^{1}-3x_{2}^{1}}{10} =\frac{6-2(0{,}96)-3(-1{,}912)}{10} =\frac{6-1{,}92+5{,}736}{10} =\frac{9{,}816}{10}=0{,}9816.
Portanto a iteração 1 produz
x^{1}=\bigl(0{,}96,\,-1{,}912,\,0{,}9816\bigr).
Agora calculo a diferença para o critério de parada:
\|x^{1}-x^{0}\|_{\infty}=\max\bigl(|0{,}96-0{,}7|,\;|-1{,}912-(-1{,}6)|,\;|0{,}9816-0{,}6|\bigr) =\max(0{,}26,\;0{,}312,\;0{,}3816)=0{,}3816.
Como 0{,}3816>\varepsilon(=0{,}3), não paramos — precisamos de mais iterações.

Passo 5

Iteração k=1\to k=2 (segunda iteração).
  1. Calcular x_{1}^{2} usando x_{2}^{1}=-1{,}912 e x_{3}^{1}=0{,}9816:
x_{1}^{2}=\frac{7-2x_{2}^{1}-x_{3}^{1}}{10} =\frac{7-2(-1{,}912)-0{,}9816}{10} =\frac{7+3{,}824-0{,}9816}{10} =\frac{9{,}8424}{10}=0{,}98424.
  1. Calcular x_{2}^{2} usando x_{1}^{2}=0{,}98424 e x_{3}^{1}=0{,}9816:
x_{2}^{2}=\frac{-8-x_{1}^{2}-x_{3}^{1}}{5} =\frac{-8-0{,}98424-0{,}9816}{5} =\frac{-9{,}96584}{5}=-1{,}993168.
  1. Calcular x_{3}^{2} usando x_{1}^{2}=0{,}98424 e x_{2}^{2}=-1{,}993168:
x_{3}^{2}=\frac{6-2x_{1}^{2}-3x_{2}^{2}}{10} =\frac{6-2(0{,}98424)-3(-1{,}993168)}{10} =\frac{6-1{,}96848+5{,}979504}{10} =\frac{10{,}011024}{10}=1{,}0011024.
Portanto a iteração 2 produz
x^{2}=\bigl(0{,}98424,\,-1{,}993168,\,1{,}0011024\bigr).
Calculo a diferença para o critério de parada:
\|x^{2}-x^{1}\|_{\infty}=\max\bigl(|0{,}98424-0{,}96|,\;|-1{,}993168-(-1{,}912)|,\;|1{,}0011024-0{,}9816|\bigr) =\max(0{,}02424,\;0{,}081168,\;0{,}0195024)=0{,}081168.
Agora 0{,}081168<\varepsilon(=0{,}3), logo atingimos o critério de parada e podemos aceitar x^{2} como solução aproximada com a tolerância exigida.

Passo 6

Interpretação final e dica prática.
  • Parámos na segunda iteração porque a máxima variação entre x^{2} e x^{1} ficou abaixo de \varepsilon=0{,}3.
  • Na prova: escreva as fórmulas isoladas para cada incógnita, deixe explícito o vetor inicial e o critério de parada (a norma infinito é uma escolha comum), faça as contas passo a passo e mostre o cálculo da norma para justificar a parada.
  • Se pedirem maior precisão, continue iterando até a diferença ser menor que a nova tolerância.

Resposta

\displaystyle x\approx\bigl(0{,}98424,\,-1{,}993168,\,1{,}0011024\bigr)

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