Considere a tabela a seguir:
x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
f(x) 0.12 0.16 0.19 0.22 0.27
Estime o valor de f(0.17) usando um polinômio interpolador linear;

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com pares (x,f(x)) e pede para estimar o valor de f(0,17) usando um polinômio interpolador linear. Dados relevantes (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline 0,15 & 0,12\\\\ 0,20 & 0,16\\\\ 0,25 & 0,19\\\\ 0,30 & 0,22\\\\ 0,35 & 0,27 \end{array}
Pergunta: estimar f(0,17) por interpolação linear.

Passo 2

O que é interpolação linear (explicação didática)?
  • Interpolação linear entre dois pontos significa aproximar a função por uma reta que passa por esses dois pontos conhecidos.
  • Se conhecemos dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1), a reta que passa por eles tem inclinação (taxa de variação) dada por
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.
Aqui m representa “quanto y varia quando x varia uma unidade” entre esses pontos.
  • O valor interpolado em um x entre x_0 e x_1 é dado por
y(x)=y_0 + m\,(x-x_0).
Nessas fórmulas, x_0,x_1 são as abscissas conhecidas, y_0=f(x_0),y_1=f(x_1) são os valores conhecidos, m é a inclinação e y(x) é a estimativa da função em x.

Passo 3

Escolha dos pontos a usar: para estimar f(0,17) usamos os dois pontos da tabela que envolvem 0,17, isto é os mais próximos à esquerda e à direita:
x_0=0,15,\quad y_0=f(0,15)=0,12
x_1=0,20,\quad y_1=f(0,20)=0,16
(escolhi esses porque 0,15<0,17<0,20. Em interpolação linear sempre usamos os dois nós mais próximos que “envolvem” o ponto a estimar.)

Passo 4

Calcule a inclinação m. Primeiro as diferenças:
\Delta y = y_1-y_0 = 0,16-0,12 = 0,04,
\Delta x = x_1-x_0 = 0,20-0,15 = 0,05.
Agora a inclinação:
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0,04}{0,05}.
Para dividir decimais com facilidade, note que \dfrac{0,04}{0,05}=\dfrac{4/100}{5/100}=\dfrac{4}{5}=0,8. Logo
m=0,8.

Passo 5

Calcule o deslocamento em x e o incremento correspondente em y. O deslocamento de x_0 até 0,17 é
x-x_0 = 0,17-0,15 = 0,02.
O incremento em y fornecido pela reta é
m\,(x-x_0)=0,8\times 0,02.
Para multiplicar, pense 8\times 2=16 e ajuste as casas decimais (duas casas no total), obtém-se 0,016. Portanto o incremento é
\text{incremento}=0,016.

Passo 6

Monte a estimativa pela fórmula da interpolação linear:
f(0,17)\approx f(0,15) + \text{incremento} = 0,12 + 0,016.
(Até aqui mostrei todo o raciocínio passo a passo: escolha dos pontos, cálculo da inclinação, cálculo do incremento. Somando esses termos obtemos a estimativa final.)

Resposta

f(0,17)=0,136

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