Considere a tabela a seguir:
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.12
0.16
0.19
0.22
0.27
Estime o valor de
usando um polinômio interpolador linear;
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0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 |
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0.12 | 0.16 | 0.19 | 0.22 | 0.27 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com pares
e pede para estimar o valor de
usando um polinômio interpolador linear. Dados relevantes (retirei-os da tabela do enunciado):
Pergunta: estimar
por interpolação linear.
Passo 2
O que é interpolação linear (explicação didática)?
- Interpolação linear entre dois pontos significa aproximar a função por uma reta que passa por esses dois pontos conhecidos.
- Se conhecemos dois pontos
e , a reta que passa por eles tem inclinação (taxa de variação) dada por
Aqui
representa “quanto
varia quando
varia uma unidade” entre esses pontos.
- O valor interpolado em um
entre e é dado por
Nessas fórmulas,
são as abscissas conhecidas,
são os valores conhecidos,
é a inclinação e
é a estimativa da função em
.
Passo 3
Escolha dos pontos a usar: para estimar
usamos os dois pontos da tabela que envolvem
, isto é os mais próximos à esquerda e à direita:
(escolhi esses porque
. Em interpolação linear sempre usamos os dois nós mais próximos que “envolvem” o ponto a estimar.)
Passo 4
Calcule a inclinação
. Primeiro as diferenças:
Agora a inclinação:
Para dividir decimais com facilidade, note que
. Logo
Passo 5
Calcule o deslocamento em
e o incremento correspondente em
. O deslocamento de
até
é
O incremento em
fornecido pela reta é
Para multiplicar, pense
e ajuste as casas decimais (duas casas no total), obtém-se
. Portanto o incremento é
Passo 6
Monte a estimativa pela fórmula da interpolação linear:
(Até aqui mostrei todo o raciocínio passo a passo: escolha dos pontos, cálculo da inclinação, cálculo do incremento. Somando esses termos obtemos a estimativa final.)