Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbf{R} uma funçāo tal que existe \alpha>1 tal que
|f(x)-f(y)| \leq|x-y|^{\alpha},
para todo x, y \in[a, b]. Mostre que f^{\prime}(p)=0, para todo p \in[a, b] e conclua que f é uma função constante.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:[a,b]\to\mathbf{R} e diz que existe \alpha>1 tal que, para todo x,y\in[a,b],
|f(x)-f(y)|\le |x-y|^{\alpha}.
O que nos pedem: (i) mostrar que f'(p)=0 para todo p\in[a,b]; (ii) concluir que f é constante.
Informações relevantes listadas: a desigualdade acima (condição de Hölder com expoente \alpha>1); o intervalo fechado [a,b]. A resolução começa agora.

Passo 2

Relembre a definição de derivada num ponto p. Dizemos que f é diferenciável em p e que f'(p) existe se o limite
\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}
existe (como número real). Esse quociente \dfrac{f(x)-f(p)}{x-p} é chamado de quociente diferencial ou quociente incremental. Nosso objetivo é estimar esse quociente usando a desigualdade dada e depois passar ao limite. Vou explicar passo a passo por que a desigualdade implica que esse limite é zero.

Passo 3

Pegue p\in[a,b] fixo e considere x\in[a,b], x\neq p. Usando a desigualdade dada com y=p, temos
|f(x)-f(p)|\le |x-p|^{\alpha}.
Dividindo ambos os lados por |x-p| (positivo porque x\neq p), obtemos uma desigualdade para o módulo do quociente diferencial:
\left|\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\right|\le |x-p|^{\alpha-1}.
Expliquei: dividir por |x-p| é permitido e transforma o expoente \alpha em \alpha-1.

Passo 4

Agora observe a razão do limite: \alpha>1 implica que \alpha-1>0. Como |x-p|\to 0 quando x\to p, a função t\mapsto t^{\alpha-1} tende a 0 quando t\to 0^+. Portanto, tomando limite em x\to p na desigualdade do Passo 3, o lado direito tende a 0. Pelo teorema do confronto (ou pelo fato de que o módulo do quociente está somado a uma função que tende a zero), concluímos que
\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0.
Isso mostra que a derivada de f em p existe e vale 0. (Se quiser pensar nos extremos do intervalo: no ponto a a mesma estimativa dá a derivada à direita igual a 0, e no ponto b dá a derivada à esquerda igual a 0.)

Passo 5

Como p\in[a,b] foi arbitrário, o argumento do Passo 4 vale para qualquer p\in[a,b]. Logo f é diferenciável em todo ponto interior e as derivadas laterais nos extremos também valem 0. Em particular obtemos f'(p)=0 para todo p\in(a,b) (e os respectivos derivadas laterais nulos em a e b).

Passo 6

Agora usamos o fato padrão que liga derivada e constância: se uma função é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) com f'(x)=0 para todo x\in(a,b), então f é constante em [a,b]. Vou justificar que as hipóteses são satisfeitas: a desigualdade original também implica continuidade (pois |f(x)-f(y)|\le |x-y|^{\alpha}\to 0 quando x\to y), e já mostramos diferenciabilidade em (a,b) com derivada 0. Portanto podemos aplicar o Teorema do Valor Médio (ou um argumento direto com integração da derivada) para concluir que f é constante. Concretamente, para quaisquer x,y\in[a,b], pelo Teorema do Valor Médio existe c\in(x,y) tal que
f(y)-f(x)=f'\text{(c)}(y-x)=0\cdot (y-x)=0,
portanto f(y)=f(x). Como x,y eram arbitrários, f é constante em [a,b].

Resposta


\,f'(p)=0 para todo p\in[a,b].\n \,f é constante em [a,b].

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