Questāo
. Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices
e
, se a função densidade é
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a massa de uma lâmina triangular com vértices
,
e
, cuja densidade é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os vértices do triângulo são
, e . - A função densidade é
.
Pergunta a responder: qual é a massa total da lâmina?
Passo 2
Conceito que usamos: a massa
de uma lâmina de densidade
sobre uma região
do plano é dada pela integral dupla
Aqui
representa um pequeno elemento de área; ao calcular a integral dupla estamos somando a contribuição de densidade em cada ponto da região. Para avaliar a integral precisamos descrever
com limites de integração.
Passo 3
Vamos descrever geometricamente a região
(o triângulo). Os lados que ligam os vértices:
- Entre
e temos a reta . - Entre
e temos a reta . - Entre
e temos a reta que passa por esses pontos. Calculamos sua equação: a inclinação é
e usando o ponto
obtemos
Portanto, para
variando de
a
,
varia entre a linha inferior
e a linha superior
. Logo podemos usar a ordem
com os limites
Passo 4
Montamos a integral dupla para a massa usando os limites decididos:
Explicação do porquê: escolhemos integrar primeiro em
porque, para cada
fixo,
varia entre duas curvas simples (constante e linear), o que torna a integração direta.
Passo 5
Calculamos a integral interna em
. A primitiva em relação a
de
é
pois
,
(tratamos
como constante aqui) e
. Avaliando entre
e
obtemos
Para simplificar, chamo
. Então a expressão fica
. Agora desenvolvo passo a passo:
Explicando a multiplicação:
. Multiplicando por
dá
Agora a outra parcela:
Somando as duas parcelas:
Portanto a integral interna resulta em
.
Passo 6
Agora integramos em
:
Usamos a regra
. Assim
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio (para lembrar na prova): descrevemos a região pelo limite superior
, montamos
com ordem
, integramos primeiro em
(resultando numa expressão polinomial simples em
) e depois em
. As contas simplificaram muito, dando
. Vai dar tudo certo — respira e confia nos passos!