Questāo 5(1,0). Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0),(1,0) e (0,2), se a função densidade é \rho(x, y)=1+3 x+y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), cuja densidade é \rho(x,y)=1+3x+y.
Informações dadas:
  • Os vértices do triângulo são (0,0), (1,0) e (0,2).
  • A função densidade é \rho(x,y)=1+3x+y.
    Pergunta a responder: qual é a massa total da lâmina?

Passo 2

Conceito que usamos: a massa M de uma lâmina de densidade \rho(x,y) sobre uma região R do plano é dada pela integral dupla
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um pequeno elemento de área; ao calcular a integral dupla estamos somando a contribuição de densidade em cada ponto da região. Para avaliar a integral precisamos descrever R com limites de integração.

Passo 3

Vamos descrever geometricamente a região R (o triângulo). Os lados que ligam os vértices:
  • Entre (0,0) e (1,0) temos a reta y=0.
  • Entre (0,0) e (0,2) temos a reta x=0.
  • Entre (1,0) e (0,2) temos a reta que passa por esses pontos. Calculamos sua equação: a inclinação é
m=\frac{2-0}{0-1}=-2,
e usando o ponto (1,0) obtemos
y=-2(x-1)= -2x+2.
Portanto, para x variando de 0 a 1, y varia entre a linha inferior y=0 e a linha superior y=2-2x. Logo podemos usar a ordem dy\,dx com os limites
0\le x\le1,\qquad 0\le y\le 2-2x.

Passo 4

Montamos a integral dupla para a massa usando os limites decididos:
M=\iint_{R}(1+3x+y)\,dA=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{\,2-2x}(1+3x+y)\,dy\,dx.
Explicação do porquê: escolhemos integrar primeiro em y porque, para cada x fixo, y varia entre duas curvas simples (constante e linear), o que torna a integração direta.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y. A primitiva em relação a y de 1+3x+y é
\int(1+3x+y)\,dy=(1+3x)\,y+\frac{y^{2}}{2},
pois \int 1\,dy=y, \int 3x\,dy=3x\cdot y (tratamos x como constante aqui) e \int y\,dy=\tfrac{y^{2}}{2}. Avaliando entre y=0 e y=2-2x obtemos
(1+3x)(2-2x)+\frac{(2-2x)^{2}}{2}.
Para simplificar, chamo A=2-2x. Então a expressão fica (1+3x)A+\tfrac{A^{2}}{2}. Agora desenvolvo passo a passo:
A=2-2x=2(1-x).
(1+3x)A=(1+3x)\cdot 2(1-x)=2(1+3x)(1-x).
Explicando a multiplicação: (1+3x)(1-x)=1 - x + 3x - 3x^{2}=1+2x-3x^{2}. Multiplicando por 2
(1+3x)A=2+4x-6x^{2}.
Agora a outra parcela:
\frac{A^{2}}{2}=\frac{(2-2x)^{2}}{2}=\frac{4(1-x)^{2}}{2}=2(1-2x+x^{2})=2-4x+2x^{2}.
Somando as duas parcelas:
(2+4x-6x^{2})+(2-4x+2x^{2})=4-4x^{2}.
Portanto a integral interna resulta em 4-4x^{2}.

Passo 6

Agora integramos em x:
M=\int_{0}^{1}(4-4x^{2})\,dx=4\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx.
Usamos a regra \int x^{n}\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}. Assim
\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx=\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Multiplicando por 4 obtemos
M=4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (para lembrar na prova): descrevemos a região pelo limite superior y=2-2x, montamos \iint_{R}\rho\,dA com ordem dy\,dx, integramos primeiro em y (resultando numa expressão polinomial simples em x) e depois em x. As contas simplificaram muito, dando M=\tfrac{8}{3}. Vai dar tudo certo — respira e confia nos passos!

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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