[2,5 Pontos] Encontre, se for o caso, o limite da função a seguir:
\lim _{(x . y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{5 x^{2}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy}{5x^{2}+4y^{2}}.
Informações relevantes que temos: a função é dada por \dfrac{2xy}{5x^{2}+4y^{2}} e queremos saber se existe um valor L tal que, quando o par (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho, os valores da função se aproximem de L. Note que o denominador 5x^{2}+4y^{2} é zero apenas em (0,0), então a expressão está bem definida em todos os pontos próximos de (0,0) exceto na origem.

Passo 2

Breve explicação didática do conceito que vamos usar: em funções de duas variáveis, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, e somente se, para qualquer sequência ou qualquer caminho que leve (x,y) até (0,0), os valores f(x,y) tendem ao mesmo número L. Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos diferentes que tendem a (0,0) e cujo limites da função ao longo desses caminhos sejam diferentes. Se acharmos dois caminhos com limites distintos, isso contradiz a existência de um único L.

Passo 3

Escolhemos caminhos simples: retas que passam pela origem definidas por \;y=kx\;, onde k é uma constante real. Esse é um caminho muito comum porque facilita as contas e costuma revelar dependência direcional se houver. Substituímos y=kx na função (válido para x\neq0):
\frac{2x\cdot (kx)}{5x^{2}+4(kx)^{2}}.
Fazendo a álgebra dentro do caminho y=kx:
\frac{2kx^{2}}{5x^{2}+4k^{2}x^{2}}
agora fatoramos x^{2} no denominador (e cancelamos x^{2} com o numerador, para x\neq0):
\frac{2kx^{2}}{x^{2}(5+4k^{2})}=\frac{2k}{5+4k^{2}}.
Observação didática: ao cancelar x^{2} estamos usando que, ao aproximar-se de (0,0) por pontos distintos da origem, podemos dividir por x^{2}. O valor resultante é independente de x — isto é, ao longo da reta y=kx a expressão é constante (para x\neq0).

Passo 4

O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) ao longo da reta y=kx é, portanto,
\lim_{x\to0}\frac{2x(kx)}{5x^{2}+4(kx)^{2}}=\frac{2k}{5+4k^{2}}.
Repare que esse valor depende do parâmetro k. Para mostrar que não existe limite único, basta escolher dois valores de k que produzam resultados diferentes. Por exemplo:
\text{se }k=0\text{ (ou seja }y=0\text{), o valor é }\frac{2\cdot0}{5+0}=0,é
\text{se }k=1\text{ (ou seja }y=x\text{), o valor é }\frac{2\cdot1}{5+4}=\frac{2}{9}.é
Como 0\neq\frac{2}{9}, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes.
Conclusão didática: porque encontramos dois caminhos de aproximação à origem que produzem limites diferentes para a função, não existe um número L único que seja o limite quando (x,y)\to(0,0). Pelo critério de dependência de caminho, o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados