(2.5 pontos) Resolva:
y^{\prime}=y+e^{-3 x} y^{4} \quad y=y(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = y + e^{-3x}y^4,
que é uma equação de Bernoulli de grau n=4. Para solucioná-la, vamos primeiro colocá-la na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n
e depois usar a mudança de variável z = y^{1-n} = y^{-3}, que transforma a equação em uma equação linear em z.

Passo 2

Escrevendo a equação na forma de Bernoulli, temos
y' - y = e^{-3x}\,y^4,
logo P(x) = -1, Q(x)=e^{-3x} e n=4. Introduzimos
z = y^{1-4} = y^{-3}.

Passo 3

Calculamos a derivada de z:
z' = \frac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr) = -3\,y^{-4}\,y'.
Substituindo y' da equação original:
z' = -3\,y^{-4}\bigl(y + e^{-3x}y^4\bigr) = -3\bigl(y^{-3} + e^{-3x}\bigr) = -3\,z - 3\,e^{-3x}.
Reorganizando, obtemos a equação linear
z' + 3\,z = -3\,e^{-3x}.

Passo 4

Para resolver
z' + 3\,z = -3\,e^{-3x},
usamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
\bigl(e^{3x}z\bigr)' = -3.
Integrando ambos os lados em relação a x:
e^{3x}z = -3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
z = y^{-3} = e^{-3x}\,(C - 3x) \quad\Longrightarrow\quad y^{-3} = e^{-3x}(C - 3x).
Invertendo e extraindo a raiz cúbica:
y^3 = \frac{e^{3x}}{C - 3x} \quad\Longrightarrow\quad y = \Bigl(\frac{e^{3x}}{C - 3x}\Bigr)^{\!1/3} = e^{x}\,(C - 3x)^{-1/3}.

Resposta

y(x) = \Bigl(\tfrac{e^{3x}}{C - 3x}\Bigr)^{\!1/3},
onde C é constante arbitrária.

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