Sejam \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) duas seqüências tais que \left|a_{n}-a\right| \leq C\left|b_{n}\right|, onde a é um certo número real e C uma constante positiva. Usando a definição de limite, mostre que se b_{n} \rightarrow 0, então a_{n} \rightarrow a.
12. (Teorema do confronto) Sejam \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) e \left(c_{n}\right) três seqüências tais que, para n \geq n_{0}, temos a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}. Se \left(a_{n}\right) e \left(c_{n}\right) convergem para o mesmo limite L, mostre que \left(b_{n}\right) também converge para L.

Passo 1

Temos dois itens para provar usando definição de limite:
  1. Se \bigl|a_{n}-a\bigr|\le C\,\bigl|b_{n}\bigr| e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, mostrar que \lim_{n\to\infty}a_{n}=a.
  2. (Teorema do confronto) Se existem n_{0} e três sequências \bigl(a_{n}\bigr), \bigl(b_{n}\bigr), \bigl(c_{n}\bigr) tais que, para todo n\ge n_{0},
a_{n}\le b_{n}\le c_{n}
e \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=L, então provar que \lim_{n\to\infty}b_{n}=L.

Passo 2

Prova do primeiro item. Seja \varepsilon>0. Como b_{n}\to0, existe N tal que, para todo n\ge N,
\bigl|b_{n}-0\bigr|<\frac{\varepsilon}{C}.
Então, para n\ge N, usando a hipótese
\bigl|a_{n}-a\bigr|\le C\,\bigl|b_{n}\bigr|<C\cdot\frac{\varepsilon}{C}=\varepsilon.
Pelo critério de definição de limite, isto mostra que \lim_{n\to\infty}a_{n}=a.

Passo 3

Enunciado do Teorema do Confronto. Suponha que para algum n_{0} valha
a_{n}\le b_{n}\le c_{n}\quad\text{para todo }n\ge n_{0},
e que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=L,\qquad\lim_{n\to\infty}c_{n}=L.

Passo 4

Prova do Teorema do Confronto. Seja \varepsilon>0. Como a_{n}\to L, existe N_{1} tal que para n\ge N_{1} temos
\bigl|a_{n}-L\bigr|<\varepsilon\;\Longrightarrow\;L-\varepsilon<a_{n}.
Como c_{n}\to L, existe N_{2} tal que para n\ge N_{2}
\bigl|c_{n}-L\bigr|<\varepsilon\;\Longrightarrow\;c_{n}<L+\varepsilon.
Tome N=\max\{n_{0},N_{1},N_{2}\}. Então, para todo n\ge N,
L-\varepsilon<a_{n}\le b_{n}\le c_{n}<L+\varepsilon,
o que implica
\bigl|b_{n}-L\bigr|<\varepsilon.
Logo \lim_{n\to\infty}b_{n}=L.

Resposta

Concluiu‐se que:
  1. Se \bigl|a_{n}-a\bigr|\le C\,\bigl|b_{n}\bigr| e b_{n}\to0, então a_{n}\to a.
  2. Pelo Teorema do Confronto, se a_{n}\le b_{n}\le c_{n} para n\ge n_{0} e a_{n},c_{n}\to L, então b_{n}\to L.

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