Sejam \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) duas seqüências tais que \left|a_{n}-a\right| \leq C\left|b_{n}\right|, onde a é um certo número real e C uma constante positiva. Usando a definição de limite, mostre que se b_{n} \rightarrow 0, então a_{n} \rightarrow a.
12. (Teorema do confronto) Sejam \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) e \left(c_{n}\right) três seqüências tais que, para n \geq n_{0}, temos a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}. Se \left(a_{n}\right) e \left(c_{n}\right) convergem para o mesmo limite L, mostre que \left(b_{n}\right) também converge para L.
Passo 1
Temos dois itens para provar usando definição de limite:
Se \bigl|a_{n}-a\bigr|\le C\,\bigl|b_{n}\bigr| e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, mostrar que \lim_{n\to\infty}a_{n}=a.
(Teorema do confronto) Se existem n_{0} e três sequências \bigl(a_{n}\bigr), \bigl(b_{n}\bigr), \bigl(c_{n}\bigr) tais que, para todo n\ge n_{0},
a_{n}\le b_{n}\le c_{n}
e \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=L, então provar que \lim_{n\to\infty}b_{n}=L.
Passo 2
Prova do primeiro item. Seja \varepsilon>0. Como b_{n}\to0, existe N tal que, para todo n\ge N,