5 (2.0 pontos) Resolva:
\left\{\begin{array}{c} (3+2 y) d y-(2 \cos (2 x)) d x=0 \\\ y(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(3+2y)\,dy - 2\cos(2x)\,dx = 0
com condição inicial y(0)=-1. O conteúdo aqui é equação de variáveis separáveis: a gente vai isolar y e x em lados opostos, integrar e depois usar a condição para achar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(3+2y)\,dy = 2\cos(2x)\,dx
e então integramos ambos os lados:
\int (3+2y)\,dy \;=\;\int 2\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Calculamos cada primitiva:
\int (3+2y)\,dy = 3y + y^2,
\int 2\cos(2x)\,dx = \sin(2x) + C,
onde C é a constante de integração. Logo a forma implícita da solução é
y^2 + 3y = \sin(2x) + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1:
na equação implícita, para x=0 tem-se
(-1)^2 + 3\cdot(-1) = \sin(0) + C \;\Longrightarrow\; 1 - 3 = 0 + C \;\Longrightarrow\; C = -2.

Passo 5

Substituindo C=-2 na forma implícita, obtemos
y^2 + 3y = \sin(2x) - 2.
Para escrever y de forma explícita, reconhecemos uma equação quadrática em y:
y^2 + 3y + 2 - \sin(2x) = 0
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
y = \frac{-3 \pm \sqrt{\,9 - 4(1)(2 - \sin(2x))\,}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1 + 4\sin(2x)}}{2}.

Passo 6

Para decidir o sinal do “ \pm”, usamos novamente y(0)=-1. Em x=0, \sin(0)=0, fica
y(0) = \frac{-3 \pm 1}{2} \quad\Longrightarrow\quad y(0)=\frac{-3+1}{2}=-1 \quad\text{(escolhendo o “\(+\)”)}.
Assim, a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x) = \frac{-3 + \sqrt{1 + 4\sin(2x)}}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{-3 + \sqrt{1 + 4\sin(2x)}}{2}.

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