Utilize um teste de convergência adequado para determinar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n}{2 n+1}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n}{2n+1}\Bigr)^{n}
usando um teste de convergência adequado. Aqui estamos no tema de séries numéricas, e vamos usar o teste da raiz enésima, que é ideal para termos da forma (\dots)^{n}.

Passo 2

Pela definição do teste da raiz enésima, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} \quad\text{onde}\quad a_n = \Bigl(\frac{3n}{2n+1}\Bigr)^{n}.
Note que
\sqrt[n]{|a_n|} \;=\;\frac{3n}{2n+1}.
Então
L = \lim_{n\to\infty}\frac{3n}{2n+1} = \frac{3}{2}.

Passo 3

Como L=\tfrac{3}{2}>1, o teste da raiz enésima nos diz que a série diverge. Além disso, o termo geral não tende a zero, pois
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{3n}{2n+1}\Bigr)^{n}
é infinito ou, no mínimo, não é zero, reforçando a divergência.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados