Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
\partial_{u} z, \partial_{v} z e \partial_{w} z, se z=e^{x+y}, x=u+v-w e y=2 u v w.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções e pede as derivadas parciais de z em relação a u, v e w.
  • z = e^{x+y}.
  • x = u+v-w.
  • y = 2\,u v w.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular \partial_{u} z.
  • Calcular \partial_{v} z.
  • Calcular \partial_{w} z.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia para funções compostas): se z=f(x,y) com x=x(u,v,w) e y=y(u,v,w), então as derivadas parciais são dadas por
\partial_{u} z = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u},
\partial_{v} z = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v},
\partial_{w} z = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial w}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial w}.
Explicando bem devagar: \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só x muda (mantendo y fixo); \frac{\partial x}{\partial u} mede quanto x muda quando u muda; o produto desses dois dá a contribuição de u sobre z via x. Soma-se a contribuição via y para obter a variação total de z quando u varia.

Passo 3

Identificar f(x,y). Aqui f(x,y)=e^{x+y}. Vamos calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} e^{x+y}=e^{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=e^{x+y}\cdot 1 = e^{x+y},
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y} e^{x+y}=e^{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=e^{x+y}\cdot 1 = e^{x+y}.
Observação: a exponencial e^{x+y} deriva para ela mesma multiplicada pela derivada do expoente; como o expoente é linear em x e y com coeficiente 1, obtemos e^{x+y} em ambos os casos.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x em relação a u,v,w. Dado x=u+v-w,
\frac{\partial x}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=1,\qquad \frac{\partial x}{\partial w}=-1.
Explicação: derivar termo a termo; u aparece com coeficiente 1, v também, e w aparece com sinal negativo.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de y em relação a u,v,w. Dado y=2\,u v w (produto de três fatores, mas para derivada parcial trata-se como constante o que não é a variável diferenciada):
\frac{\partial y}{\partial u}=2\,v w,
\frac{\partial y}{\partial v}=2\,u w,
\frac{\partial y}{\partial w}=2\,u v.
Explicação: por exemplo \partial y/\partial u trata v e w como constantes, então derivada de 2u\cdot v w em relação a u é 2 v w.

Passo 6

Agora montamos \partial_{u} z usando a fórmula da cadeia:
\partial_{u} z = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}.
Substituindo os resultados encontrados:
\partial_{u} z = e^{x+y}\cdot 1 + e^{x+y}\cdot(2 v w).
Fatorando e^{x+y}:
\partial_{u} z = e^{x+y}\,(1+2 v w).
Se preferir escrever tudo em função de u,v,w (substituindo x e y):
\partial_{u} z = e^{\,u+v-w+2u v w}\,(1+2 v w).

Passo 7

Cálculo de \partial_{v} z: pela fórmula da cadeia
\partial_{v} z = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo:
\partial_{v} z = e^{x+y}\cdot 1 + e^{x+y}\cdot(2 u w) = e^{x+y}\,(1+2 u w).
Escrita em u,v,w:
\partial_{v} z = e^{\,u+v-w+2u v w}\,(1+2 u w).

Passo 8

Cálculo de \partial_{w} z: aplicando a cadeia
\partial_{w} z = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial w}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial w}.
Substituindo:
\partial_{w} z = e^{x+y}\cdot(-1) + e^{x+y}\cdot(2 u v) = e^{x+y}\,(-1+2 u v).
Escrita em u,v,w:
\partial_{w} z = e^{\,u+v-w+2u v w}\,(-1+2 u v).

Resposta

\partial_{u} z = e^{\,x+y}\,(1+2 v w) = e^{\,u+v-w+2u v w}\,(1+2 v w)
\partial_{v} z = e^{\,x+y}\,(1+2 u w) = e^{\,u+v-w+2u v w}\,(1+2 u w)
\partial_{w} z = e^{\,x+y}\,(-1+2 u v) = e^{\,u+v-w+2u v w}\,(-1+2 u v)

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