Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
e
, se
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções e pede as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
-
. -
. -
.
O que se pede explicitamente:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia para funções compostas): se
com
e
, então as derivadas parciais são dadas por
Explicando bem devagar:
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo);
mede quanto
muda quando
muda; o produto desses dois dá a contribuição de
sobre
via
. Soma-se a contribuição via
para obter a variação total de
quando
varia.
Passo 3
Identificar
. Aqui
. Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Observação: a exponencial
deriva para ela mesma multiplicada pela derivada do expoente; como o expoente é linear em
e
com coeficiente
, obtemos
em ambos os casos.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
. Dado
,
Explicação: derivar termo a termo;
aparece com coeficiente
,
também, e
aparece com sinal negativo.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
. Dado
(produto de três fatores, mas para derivada parcial trata-se como constante o que não é a variável diferenciada):
Explicação: por exemplo
trata
e
como constantes, então derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Agora montamos
usando a fórmula da cadeia:
Substituindo os resultados encontrados:
Fatorando
:
Se preferir escrever tudo em função de
(substituindo
e
):
Passo 7
Cálculo de
: pela fórmula da cadeia
Substituindo:
Escrita em
:
Passo 8
Cálculo de
: aplicando a cadeia
Substituindo:
Escrita em
: