(3.0 pontos) (Rolamento): Uma esfera maciça e um cilindro maciço, ambos de raios iguais a r e massas iguais a m, descem por um plano inclinado com altura h, sem deslizar. Sabendo que seus momentos de inércia são, respectivamente, l_{l}=2 m r^{2} / 5 e l_{c}=m r^{2} / 2, mostre qual deles chega primeiro ao fim do plano inclinado

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Dois corpos rolantes sem deslizar partem do repouso e descem um mesmo plano inclinado que tem altura \,h.
  • Ambos têm mesma massa m e mesmo raio r.
  • Momentos de inércia dados:
    • esfera: \,I_{s}=\dfrac{2}{5}m r^{2},
    • cilindro maciço: \,I_{c}=\dfrac{1}{2}m r^{2}.
      O que se pede: determinar qual dos dois chega primeiro ao fim do plano inclinado.

Passo 2

Montando as equações do movimento (explicando cada coisa):
  • Seja \theta o ângulo do plano inclinado. A componente do peso que puxa o corpo para baixo ao longo do plano é \,m g\sin\theta.
  • Há uma força de atrito estático \,F_f que fornece o torque que faz o corpo girar (não há deslizamento).
  • Denotemos a aceleração do centro de massa por \,a e a aceleração angular por \,\alpha. A condição de não-deslizamento é
a=\alpha r.
  • Equilíbrio de forças na direção do plano (segunda lei de Newton):
m a = m g\sin\theta - F_f.
  • Equação de torques em torno do centro de massa (Lei de Newton para rotação):
I\,\alpha = F_f \, r.
Estas três equações são suficientes para encontrar \,a. Cada equação tem um papel claro: a primeira liga translação e rotação, a segunda dá a resultante linear, a terceira relaciona o atrito com a rotação.

Passo 3

Resolver algebricamente para \,a.
  • Da equação de torque, usando \alpha = a/r, temos
I\frac{a}{r}=F_f r \quad\Rightarrow\quad F_f=\frac{I a}{r^{2}}.
  • Substituindo em m a = m g\sin\theta - F_f:
m a = m g\sin\theta - \frac{I a}{r^{2}}.
  • Agrupando os termos com a:
a\left(m+\frac{I}{r^{2}}\right)=m g\sin\theta.
  • Portanto
a=\frac{m g\sin\theta}{\,m+\dfrac{I}{r^{2}}\,} =\frac{g\sin\theta}{\,1+\dfrac{I}{m r^{2}}\,}.
Esta fórmula é muito didática: quanto maior for a razão \dfrac{I}{m r^{2}}, menor será a aceleração de translação, porque mais energia (ou mais esforço do peso) é “gasta” em rotação.

Passo 4

Calcular a para cada corpo usando \,I_{s}=\dfrac{2}{5}m r^{2} e \,I_{c}=\dfrac{1}{2}m r^{2}.
  • Para a esfera:
a_{s}=\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I_{s}}{m r^{2}}} =\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{2}{5}} =\frac{g\sin\theta}{\tfrac{7}{5}} =\frac{5}{7}\,g\sin\theta.
  • Para o cilindro maciço:
a_{c}=\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{I_{c}}{m r^{2}}} =\frac{g\sin\theta}{1+\dfrac{1}{2}} =\frac{g\sin\theta}{\tfrac{3}{2}} =\frac{2}{3}\,g\sin\theta.
Comparando numericamente: \dfrac{5}{7}\approx0{,}7143 e \dfrac{2}{3}\approx0{,}6667, logo a_{s}>a_{c}.

Passo 5

Interpretar o que isso significa para o tempo de descida:
  • Ambos percorrem o mesmo comprimento do plano s (mesmo \,h e mesmo \theta), partem do repouso e têm aceleração constante ao longo do plano. O tempo para percorrer s é
t=\sqrt{\frac{2s}{a}}.
  • Como s é igual para os dois, o tempo é decrescente com a. Como a_{s}>a_{c}, a esfera tem tempo menor e chega primeiro.
Observação pedagógica (energia): usando energia também dá para ver que a velocidade final da esfera é maior, porque
m g h=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{1}{2}I\left(\frac{v}{r}\right)^{2} =\tfrac{1}{2}\bigg(m+\frac{I}{r^{2}}\bigg)v^{2},
daí v^{2}=\dfrac{2 g h}{1+I/(m r^{2})}. Como a esfera tem menor I/(m r^{2}) ( 2/5 contra 1/2), ela sai com maior v e, consequentemente, desce mais rápido.

Resposta

A esfera maciça chega antes do cilindro maciço.

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