(3.0 pontos) (Rolamento): Uma esfera maciça e um cilindro maciço, ambos de raios iguais a r e massas iguais a m, descem por um plano inclinado com altura h, sem deslizar. Sabendo que seus momentos de inércia são, respectivamente,
e
, mostre qual deles chega primeiro ao fim do plano inclinado
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Dois corpos rolantes sem deslizar partem do repouso e descem um mesmo plano inclinado que tem altura
. - Ambos têm mesma massa
e mesmo raio . - Momentos de inércia dados:
- esfera:
, - cilindro maciço:
.
O que se pede: determinar qual dos dois chega primeiro ao fim do plano inclinado.
- esfera:
Passo 2
Montando as equações do movimento (explicando cada coisa):
- Seja
o ângulo do plano inclinado. A componente do peso que puxa o corpo para baixo ao longo do plano é . - Há uma força de atrito estático
que fornece o torque que faz o corpo girar (não há deslizamento). - Denotemos a aceleração do centro de massa por
e a aceleração angular por . A condição de não-deslizamento é
- Equilíbrio de forças na direção do plano (segunda lei de Newton):
- Equação de torques em torno do centro de massa (Lei de Newton para rotação):
Estas três equações são suficientes para encontrar
. Cada equação tem um papel claro: a primeira liga translação e rotação, a segunda dá a resultante linear, a terceira relaciona o atrito com a rotação.
Passo 3
Resolver algebricamente para
.
- Da equação de torque, usando
, temos
- Substituindo em
:
- Agrupando os termos com
:
- Portanto
Esta fórmula é muito didática: quanto maior for a razão
, menor será a aceleração de translação, porque mais energia (ou mais esforço do peso) é “gasta” em rotação.
Passo 4
Calcular
para cada corpo usando
e
.
- Para a esfera:
- Para o cilindro maciço:
Comparando numericamente:
e
, logo
.
Passo 5
Interpretar o que isso significa para o tempo de descida:
- Ambos percorrem o mesmo comprimento do plano
(mesmo e mesmo ), partem do repouso e têm aceleração constante ao longo do plano. O tempo para percorrer é
- Como
é igual para os dois, o tempo é decrescente com . Como , a esfera tem tempo menor e chega primeiro.
Observação pedagógica (energia): usando energia também dá para ver que a velocidade final da esfera é maior, porque
daí
. Como a esfera tem menor
(
contra
), ela sai com maior
e, consequentemente, desce mais rápido.
Resposta
A esfera maciça chega antes do cilindro maciço.