Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte equação diferencial:
(x^2-1) y^prime+2 x y^2=0, x in]-1,1[.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (x^2-1),y'+2x,y^2=0 em xin(-1,1). O conteúdo é EDO de primeira ordem separável e vamos usar o método de separação de variáveis, integrando cada lado.

Passo 2

Isolamos y':
y' = dydx = -2x,y^2x^2-1
Em seguida separamos as variáveis:
dyy^2 = -2xx^2-1,dx

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo:
integral dyy^2 = -1y
No lado direito usamos u=x^2-1, du=2x,dx:
integral -2xx^2-1,dx = -integral duu = -lnlvert urvert = -lnlvert x^2-1rvert

Passo 4

Igualamos os resultados com constante de integração C:
-1y = -lnlvert x^2-1rvert + C
Multiplicando por -1 e rearranjando:
1y = lnlvert x^2-1rvert + C1,
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y(x)=1lnlvert x^2-1rvert + C1
No intervalo dado lvert x^2-1rvert=1-x^2.

Passo 5

Também identificamos a solução trivial yequiv0, que satisfaz a equação original mas não aparece na separação (pois dividimos por y^2).

Resposta

A solução geral não trivial é
y(x)=1ln(1-x^2)+C,
com C constante arbitrária. Há também a solução trivial y(x)=0.

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