Usando o método de separação de variáveis, resolva a seguinte equação diferencial:
(t^2-x t^2) d xd t+x^2=-t x^2, t>0.

Passo 1

Temos a equação diferencial dada por
(t^2-x t^2)dxdt+x^2=-t x^2, t>0,
o conteúdo é separação de variáveis: queremos escrever algo do tipo f(x),dx = g(t),dt.

Passo 2

Primeiro isolemos dxdt. Subtraindo x^2 de ambos os lados e dividindo por t^2(1-x) (supondo xneq1) temos
dxdt = -t x^2 - x^2t^2(1-x) = -x^2(t+1)t^2(1-x)

Passo 3

Agora separemos variáveis, colocando tudo que envolve x de um lado e tudo que envolve t do outro. Podemos escrever:
dxdt = -x^21-x,t+1t^2
Então
1-xx^2,dx = -t+1t^2,dt

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado de x:
integrall(x^-2-x^-1r)dx = integral x^-2dx - integral x^-1dx = -1x - ln|x|
No lado de t:
integrall(-t^-1-t^-2r)dt = -ln t + 1t
Logo a igualdade das integrais é
-1x - ln|x| = -ln t + 1t + C

Passo 5

Multiplicando tudo por -1) e reorganizando constates, obtemos a solução implícita:
1x + ln|x| = ln t - 1t + C',
o que pode ser reescrito como
lnxt + 1x + 1t = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

lnxt + 1x + 1t = C, C constante arbitrária.

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