(2.0 pontos) Sabendo que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} l(x)=5. Encontre, se existir, os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow a}(f(x)+l(x))

Passo 1

O enunciado nos dá três limites (quando x \to a):
  • \lim_{x\to a} f(x) = -3.
  • \lim_{x\to a} g(x) = 0.
  • \lim_{x\to a} l(x) = 5.
A pergunta que temos que responder é:
  • Calcular, se existir, \lim_{x\to a} \bigl(f(x)+l(x)\bigr).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula / propriedade que vamos usar).
Há uma propriedade básica de limites que diz o seguinte: se existirem \lim_{x\to a} F(x)=L e \lim_{x\to a} G(x)=M, onde L e M são números finitos, então
\lim_{x\to a}\bigl(F(x)+G(x)\bigr)=L+M.
Significado dos símbolos:
  • F(x) e G(x) são funções quaisquer.
  • L e M são os limites numéricos (valores finitos) dessas funções quando x tende a a.
    Essa propriedade é uma regra de “algebra dos limites”: soma de limites = limite da soma (desde que os limites existam e sejam finitos).

Passo 3

Verificamos as hipóteses para aplicar a propriedade ao nosso caso.
Temos \lim_{x\to a} f(x) = -3 (existe e é finito) e \lim_{x\to a} l(x) = 5 (existe e é finito). Portanto podemos aplicar a propriedade citada no Passo 2 à soma f(x)+l(x).

Passo 4

Aplicação direta da propriedade:
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+l(x)\bigr)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} l(x).
Substituindo os valores dos limites fornecidos:
\lim_{x\to a} f(x) = -3,\qquad \lim_{x\to a} l(x) = 5.
Então calculamos a soma dos limites:
-3 + 5 = 2.

Passo 5

Breve justificativa intuitiva (por que essa propriedade é razoável).
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de -3 quando x se aproxima de a e l(x) fica arbitrariamente próxima de 5, então somando as duas funções o resultado ficará arbitrariamente próximo de -3+5. Formalmente isso pode ser provado com a definição \varepsilon- \delta, mas a ideia prática para a prova e para a prova da prova é essa soma das proximidades.

Resposta

\displaystyle 2

Exercícios relacionados