(2.0 pontos) Sabendo que
e
. Encontre, se existir, os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado nos dá três limites (quando
):
-
. -
. -
.
A pergunta que temos que responder é:
- Calcular, se existir,
.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula / propriedade que vamos usar).
Há uma propriedade básica de limites que diz o seguinte: se existirem e
, onde
e
são números finitos, então
Há uma propriedade básica de limites que diz o seguinte: se existirem
Significado dos símbolos:
-
e são funções quaisquer. -
e são os limites numéricos (valores finitos) dessas funções quando tende a .
Essa propriedade é uma regra de “algebra dos limites”: soma de limites = limite da soma (desde que os limites existam e sejam finitos).
Passo 3
Verificamos as hipóteses para aplicar a propriedade ao nosso caso.
Temos (existe e é finito) e
(existe e é finito). Portanto podemos aplicar a propriedade citada no Passo 2 à soma
.
Temos
Passo 4
Aplicação direta da propriedade:
Substituindo os valores dos limites fornecidos:
Então calculamos a soma dos limites:
Passo 5
Breve justificativa intuitiva (por que essa propriedade é razoável).
Se fica arbitrariamente próxima de
quando
se aproxima de
e
fica arbitrariamente próxima de
, então somando as duas funções o resultado ficará arbitrariamente próximo de
. Formalmente isso pode ser provado com a definição
-
, mas a ideia prática para a prova e para a prova da prova é essa soma das proximidades.
Se