Seja \mathbf{F}(x, y)=\left(1-\frac{2 y^{2} x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\right) \mathbf{i}+\frac{2 y}{1+x^{2}} \mathbf{j} e a curva \gamma(t)=\left(t\left(1+7 t^{4}\right)^{\frac{1}{3}}, \sqrt{1+8 t^{4}}\right), t \in[0,1].
Calcule \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
Escolha uma opção:
\frac{14}{5}
-\frac{8}{5}
\frac{7}{3}
\frac{12}{5}
-\frac{7}{2}

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=\left(1-\dfrac{2y^{2}x}{(1+x^{2})^{2}}\right)\mathbf{i}+\dfrac{2y}{1+x^{2}}\mathbf{j}.
  • A curva \gamma(t)=\left(t(1+7t^{4})^{\frac{1}{3}},\\ \sqrt{1+8t^{4}}\right), com t\in[0,1].
  • O que se pede: calcular \displaystyle\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações extraídas da curva (úteis para avaliar o resultado final):
  • \gamma(0)=\bigl(0,\\\ 1\bigr).
  • \gamma(1)=\bigl(2,\\\ 3\bigr).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) admite uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} (isto é, \varphi_x=P e \varphi_y=Q), então a integral de linha entre dois pontos é simplesmente \varphi avaliada nos extremos:
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\gamma(1))-\varphi(\gamma(0)).
Uma condição prática (em domínios simplesmente conexos) para existir potencial é a igualdade das derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Vamos verificar essa condição para o campo dado.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
  • Primeiro escrevo P(x,y)=1-\dfrac{2y^{2}x}{(1+x^{2})^{2}} e Q(x,y)=\dfrac{2y}{1+x^{2}}.
Calculo \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{2x\cdot 2y}{(1+x^{2})^{2}} = -\frac{4xy}{(1+x^{2})^{2}}.
Calculo \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y\cdot\frac{d}{dx}\!\left((1+x^{2})^{-1}\right) =2y\cdot\left(-1\right)(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{4xy}{(1+x^{2})^{2}}.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{4xy}{(1+x^{2})^{2}},
o campo satisfaz a condição; portanto existe função potencial \varphi (o domínio dos (x,y) considerados é todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo), e podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 4

Encontrar a função potencial \varphi(x,y). Uso \varphi_y=Q=\dfrac{2y}{1+x^{2}} e integro em relação a y:
\varphi(x,y)=\int \frac{2y}{1+x^{2}}\,dy=\frac{y^{2}}{1+x^{2}}+h(x),
onde h(x) é uma função de x isoladamente (constante de integração em relação a y).
Agora uso \varphi_x e igualo a P para determinar h(x). Calculo \varphi_x:
\varphi_x=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\right)+h'(x) = y^{2}\cdot\left(-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\right)+h'(x) = -\frac{2xy^{2}}{(1+x^{2})^{2}}+h'(x).
Devemos ter \varphi_x=P=1-\dfrac{2xy^{2}}{(1+x^{2})^{2}}. Igualando,
-\frac{2xy^{2}}{(1+x^{2})^{2}}+h'(x)=1-\frac{2xy^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Cancelam os termos com y^{2}, restando
h'(x)=1.
Integro para obter h(x)=x+C. Portanto posso tomar (ignorando a constante C)
\varphi(x,y)=x+\frac{y^{2}}{1+x^{2}}.

Passo 5

Aplicar o teorema fundamental: a integral de linha vale a diferença da potencial nos extremos \gamma(1) e \gamma(0).
Calculo em \gamma(1)=(2,3):
\varphi(2,3)=2+\frac{3^{2}}{1+2^{2}}=2+\frac{9}{5}=\frac{10}{5}+\frac{9}{5}=\frac{19}{5}.
Calculo em \gamma(0)=(0,1):
\varphi(0,1)=0+\frac{1^{2}}{1+0^{2}}=1=\frac{5}{5}.

Passo 6

Subtraio para obter a integral:
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\gamma(1))-\varphi(\gamma(0)) =\frac{19}{5}-1=\frac{19}{5}-\frac{5}{5}=\frac{14}{5}.

Resposta

\frac{14}{5}

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