Seja
e a curva
.
Calcule
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Calcule
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado fornece:
- O campo vetorial
. - A curva
, com . - O que se pede: calcular
.
Informações extraídas da curva (úteis para avaliar o resultado final):
-
. -
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): se um campo vetorial
admite uma função potencial
tal que
(isto é,
e
), então a integral de linha entre dois pontos é simplesmente
avaliada nos extremos:
Uma condição prática (em domínios simplesmente conexos) para existir potencial é a igualdade das derivadas parciais cruzadas:
Vamos verificar essa condição para o campo dado.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais:
- Primeiro escrevo
e .
Calculo
:
Calculo
:
Como
o campo satisfaz a condição; portanto existe função potencial
(o domínio dos
considerados é todo
, que é simplesmente conexo), e podemos usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 4
Encontrar a função potencial
. Uso
e integro em relação a
:
onde
é uma função de
isoladamente (constante de integração em relação a
).
Agora uso
e igualo a
para determinar
. Calculo
:
Devemos ter
. Igualando,
Cancelam os termos com
, restando
Integro para obter
. Portanto posso tomar (ignorando a constante
)
Passo 5
Aplicar o teorema fundamental: a integral de linha vale a diferença da potencial nos extremos
e
.
Calculo em
:
Calculo em
:
Passo 6
Subtraio para obter a integral: