Mostre que, se \lambda=1-n, então \operatorname{det}(A)=0. Dica: Se obtivermos uma matriz B somando à linha j de A um múltiplo da linha i de A, enquanto todas as demais linhas de B (exceto a j-ésima) são iguais às suas correspondentes em A, então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujos elementos são
a_{ii}=\lambda,\quad a_{ij}=1\quad(i\neq j),
e pede para mostrar que, quando \lambda=1-n, então \det(A)=0. Vamos usar operações de linha que preservam o determinante e a dica de substituir uma linha pela soma de outras.
Passo 2
Defina \lambda=1-n. Pela dica, construa a matriz B obtida de A substituindo a primeira linha pela soma de todas as linhas de A, deixando as demais inalteradas. Assim \det(B)=\det(A). Para cada coluna j da primeira linha de B temos