1. (Questão Bônus: 2,0 pontos) Seja A a seguinte matriz n \times n :
A=\left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & \ldots & 1 \\\\ 1 & \lambda & \ldots & 1 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & 1 & \ldots & \lambda \end{array}\right]
Mostre que, se \lambda=1-n, então \operatorname{det}(A)=0. Dica: Se obtivermos uma matriz B somando à linha j de A um múltiplo da linha i de A, enquanto todas as demais linhas de B (exceto a j-ésima) são iguais às suas correspondentes em A, então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujos elementos são
a_{ii}=\lambda,\quad a_{ij}=1\quad(i\neq j),
e pede para mostrar que, quando \lambda=1-n, então \det(A)=0. Vamos usar operações de linha que preservam o determinante e a dica de substituir uma linha pela soma de outras.

Passo 2

Defina \lambda=1-n. Pela dica, construa a matriz B obtida de A substituindo a primeira linha pela soma de todas as linhas de A, deixando as demais inalteradas. Assim \det(B)=\det(A). Para cada coluna j da primeira linha de B temos
a_{1j} + \sum_{i=2}^n a_{ij} = \lambda + (n-1)\cdot 1 = (1-n)+(n-1) =0.
Logo, a primeira linha de B é o vetor nulo, e portanto \det(B)=0. Concluímos que \det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0 para \lambda=1-n.

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