(2 pontos) Seja a base B de \mathbb{R}^{2} formada pelos vetores v_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2\end{array}\right] e v_{2}=\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5\end{array}\right].
(a) Determine as coordenadas do vetor v=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1\end{array}\right] (dado na base canônica de \mathbb{R}^{2} ) na base B.
(b) Determine a matriz [P]_{B} mudança da base B para a base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(c) Determine a matriz mudança da base canônica para a base B de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a base B=\{v_{1},v_{2}\} de \mathbb{R}^{2} com
v_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, \quad v_{2} = \begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix}
e pede:
(a) as coordenadas de v=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} na base B;
(b) a matriz de mudança de base de B para a base canônica;
(c) a matriz de mudança de base da canônica para B.

Passo 2

Para achar as coordenadas de v em B, escrevemos
\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} = c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}3\\\ -5\end{pmatrix}
o que gera o sistema
\begin{cases} c_{1} + 3c_{2} = -1,\\\\ -2c_{1} -5c_{2} = 1. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema, de c_{1} = -1 - 3c_{2} e substituindo na segunda equação:
-2(-1 - 3c_{2}) -5c_{2} = 1 \;\Longrightarrow\; 2 + 6c_{2} -5c_{2} = 1 \;\Longrightarrow\; c_{2} = -1,
e então
c_{1} = -1 - 3(-1) = 2.
Logo as coordenadas de v na base B são
\bigl[v\bigr]_{B} = \begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz de mudança de base de B para a base canônica (que envia \bigl[x\bigr]_{B}\mapsto x) tem colunas dadas pelos vetores de B em coordenadas canônicas:
[P]_{B} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ -2 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de mudança de base da canônica para B é a inversa de [P]_{B}. Calculamos
\det([P]_{B]) = 1\cdot(-5) - 3\cdot(-2) = -5 + 6 = 1
e
[P]_{B}^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -5 & -3\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -3\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \bigl[v\bigr]_{B} = \begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle [P]_{B} = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ -2 & -5\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle [P]_{B}^{-1} = \begin{pmatrix}-5 & -3\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.

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