(2 pontos) Seja a matriz A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 4 & 5 & 2 \\\\ 2 & 1 & 3 & 0 \\\\ -1 & 3 & 2 & 2\end{array}\right].
(a) Determine uma base para o espaço \operatorname{Nul}(A). Qual é a dimensão de \operatorname{Nul}(A) ?
(b) Determine uma base para o espaço \operatorname{Col}(A). Qual é a dimensão de \operatorname{Col}(A) ?
(c) Considerando o itens anteriores, a igualdade \operatorname{dim} \operatorname{Col}(A)+\operatorname{dim} N u l(A)=4 é satisfeita?
e pede:
(a) uma base de \operatorname{Nul}(A) e sua dimensão;
(b) uma base de \operatorname{Col}(A) e sua dimensão;
(c) verificar se \dim\operatorname{Col}(A)+\dim\operatorname{Nul}(A)=4.
Para isso, vamos primeiro reduzir A à forma escalonada reduzida por linhas para identificar pivôs e variáveis livres.
Passo 2
Aplicando operações de linha para obter a forma escalonada reduzida:
(a) Base de \operatorname{Nul}(A): \{\,(-1,-1,1,0),\,(2,-4,0,7)\}. Dimensão: 2.
(b) Base de \operatorname{Col}(A): \{(1,2,-1),\,(4,1,3)\}. Dimensão: 2.
(c) Sim, 2+2=4.