(2 pontos) Seja a matriz A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 4 & 5 & 2 \\\\ 2 & 1 & 3 & 0 \\\\ -1 & 3 & 2 & 2\end{array}\right].
(a) Determine uma base para o espaço \operatorname{Nul}(A). Qual é a dimensão de \operatorname{Nul}(A) ?
(b) Determine uma base para o espaço \operatorname{Col}(A). Qual é a dimensão de \operatorname{Col}(A) ?
(c) Considerando o itens anteriores, a igualdade \operatorname{dim} \operatorname{Col}(A)+\operatorname{dim} N u l(A)=4 é satisfeita?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 2\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ -1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}
e pede:
(a) uma base de \operatorname{Nul}(A) e sua dimensão;
(b) uma base de \operatorname{Col}(A) e sua dimensão;
(c) verificar se \dim\operatorname{Col}(A)+\dim\operatorname{Nul}(A)=4.
Para isso, vamos primeiro reduzir A à forma escalonada reduzida por linhas para identificar pivôs e variáveis livres.

Passo 2

Aplicando operações de linha para obter a forma escalonada reduzida:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 2\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ -1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 2\\\\ 0 & -7 & -7 & -4\\\\ 0 & 7 & 7 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & \tfrac{4}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{7}\\\\ 0 & 1 & 1 & \tfrac{4}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma, os pivôs estão nas colunas 1 e 2, e as variáveis x_3 e x_4 são livres.

Passo 3

Das equações da forma reduzida,
\begin{cases} x_1 + x_3 - \tfrac{2}{7}x_4 = 0,\\\ x_2 + x_3 + \tfrac{4}{7}x_4 = 0, \end{cases}
temos
x_1 = -x_3 + \tfrac{2}{7}x_4,\quad x_2 = -x_3 - \tfrac{4}{7}x_4,\quad x_3 = s,\quad x_4 = t.
Logo,
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = s\,(-1,-1,1,0) + t\,\bigl(\tfrac{2}{7},-\tfrac{4}{7},0,1\bigr).
Multiplicando o segundo vetor por 7 para evitar frações, uma base de \operatorname{Nul}(A) é
\{\,(-1,-1,1,0),\,(2,-4,0,7)\},
e portanto
\dim\operatorname{Nul}(A)=2.

Passo 4

Para \operatorname{Col}(A), basta tomar as colunas de A correspondentes aos pivôs, ou seja, as colunas 1 e 2 de A. Uma base é
\{(1,2,-1),\,(4,1,3)\},
e assim
\dim\operatorname{Col}(A)=2.

Passo 5

Somando as dimensões:
\dim\operatorname{Col}(A)+\dim\operatorname{Nul}(A)=2+2=4,
que coincide com o número de colunas de A.

Resposta

(a) Base de \operatorname{Nul}(A): \{\,(-1,-1,1,0),\,(2,-4,0,7)\}. Dimensão: 2.
(b) Base de \operatorname{Col}(A): \{(1,2,-1),\,(4,1,3)\}. Dimensão: 2.
(c) Sim, 2+2=4.

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