(2 pontos) Seja f(x, y, z)=x cdot sin (y z). Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na direção do vetor unitário 1raiz6(1,2,-1).
a) 0
b) -1 / raiz6
c) 1
d) 1 / raiz6
e) 3 / raiz6

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=xsin(yz) no ponto (1,3,0) na direção do vetor unitário u=tfrac1raiz6(1,2,-1). O conteúdo aqui é derivada direcional, que a gente calcula usando o gradiente de f.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. Lembrando que
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)
Como f(x,y,z)=xsin(yz), temos:


Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas parciais no ponto (1,3,0). Como yz=3cdot0=0, fica:
nabla f(1,3,0)=(0,0,3)


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Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar de nabla f(1,3,0) com u:
Duf(1,3,0)=nabla f(1,3,0)cdotu=(0,0,3)cdottfrac1raiz6(1,2,-1)=-3raiz6

Resposta

-3/raiz6

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