(2 pontos) Seja z=e^-x^2-y^2. Calcule partial^2 zpartial x partial y(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função z = e{-x2 - y^2} e pede a derivada parcial mista partial^2 zpartial x partial y(1,1). O conteúdo aqui é derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos partial zpartial y. Como z = e^u com u = -x^2 - y^2, pela regra da cadeia temos:
partial zpartial y = e^u cdot partial upartial y = e^-x^2 - y^2 cdot (-2y) = -2y,e^-x^2 - y^2

Passo 3

Agora derivamos esse resultado em relação a x para obter partial^2 zpartial x partial y. Note que -2y é constante em relação a x, então:
partial^2 zpartial x partial y = -2y cdot partialpartial xl(e^-x^2 - y^2r) = -2y cdot e^-x^2 - y^2 cdot (-2x) = 4xy,e^-x^2 - y^2

Passo 4

Finalmente, avaliamos em (x,y) = (1,1):
partial^2 zpartial x partial y(1,1) = 4 cdot 1 cdot 1 cdot e^-1^2 - 1^2 = 4e^-2

Resposta

4e^{-2}

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