Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
Resp.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy:
Temos a equação com condição inicial
. O conteúdo envolvido é uma EDO de variáveis separáveis, e vamos usar o método de separação de variáveis e integração para encontrar
.
Temos a equação
Passo 2
Começamos reescrevendo
como
e isolando os termos para separar variáveis.
Temos
Temos
que é o mesmo que
Agora escrevemos
ou seja, isolamos os
de um lado e
do outro.
Passo 3
Integrando ambos os lados, obtemos a solução geral da EDO separável.
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para determinar
, aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
temos
Passo 5
Com
, a relação fica
ou seja
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, concluímos
Resposta
y = x