Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
y^prime cdot e^x-y & =1 y(1) & =1 ( Resp. y=x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy:
Temos a equação y',e^x-y=1 com condição inicial y(1)=1. O conteúdo envolvido é uma EDO de variáveis separáveis, e vamos usar o método de separação de variáveis e integração para encontrar y(x).

Passo 2

Começamos reescrevendo y' como dydx e isolando os termos para separar variáveis.
Temos
y',e^x-y=1
que é o mesmo que
dydx=e^y-x
Agora escrevemos
e^-y,dy=e^-x,dx,
ou seja, isolamos os y de um lado e x do outro.

Passo 3

Integrando ambos os lados, obtemos a solução geral da EDO separável.
integral e^-y,dy=integral e^-x,dx
Isso dá
-,e^-y=-,e^-x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para determinar C, aplicamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1 em
-,e^-y=-,e^-x+C,
temos
-,e^-1=-,e^-1+CLongrightarrow C=0

Passo 5

Com C=0, a relação fica
-,e^-y=-,e^-x
ou seja
e^-y=e^-x
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, concluímos
-y=-xLongrightarrow y=x

Resposta

y = x

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