( 2 pontos) Seja f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} com f(x)=x^{3}.
(a) Mostre que \exists b \in \mathbb{R}^{+}tal que b^{3}=7, isto é, mostre que \sqrt[3]{7} existe.
(b) Mostre, usando derivadas, que o número real b com essas propriedades é único.

Passo 1

O enunciado define a função
f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R},\quad f(x)=x^{3},
e pede (a) provar que existe b>0 tal que b^{3}=7 (isto é, \sqrt[3]{7} existe) e (b) usar derivadas para mostrar que esse b é único. Para isso, vamos recorrer ao Teorema do Valor Intermediário (continuidade) e ao fato de que f'(x)=3x^{2}>0 em \mathbb{R}^{+}.

Passo 2

Mostramos a existência de b. A função f(x)=x^{3} é contínua em \mathbb{R}^{+}. Note que
f(1)=1<7<8=f(2).
Pelo Teorema do Valor Intermediário, em um intervalo onde f é contínua e assume valores abaixo e acima de 7, existe um ponto b\in(1,2) tal que
f(b)=b^{3}=7.

Passo 3

Mostramos a unicidade de b. Calculamos a derivada
f'(x)=3x^{2}.
Como 3x^{2}>0 para todo x>0, a função f é estritamente crescente em \mathbb{R}^{+}. Uma função estritamente crescente só pode assumir um valor dado uma única vez. Logo, a equação
x^{3}=7
tem no máximo uma solução em \mathbb{R}^{+}.

Resposta

Existe um único b\in(1,2)\subset\mathbb{R}^{+} tal que b^{3}=7.

Exercícios relacionados