( 2 pontos) Seja
com
.
(a) Mostre que
tal que
, isto é, mostre que
existe.
(b) Mostre, usando derivadas, que o número real
com essas propriedades é único.
(a) Mostre que
(b) Mostre, usando derivadas, que o número real
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (a) provar que existe
tal que
(isto é,
existe) e (b) usar derivadas para mostrar que esse
é único. Para isso, vamos recorrer ao Teorema do Valor Intermediário (continuidade) e ao fato de que
em
.
Passo 2
Mostramos a existência de
. A função
é contínua em
. Note que
Pelo Teorema do Valor Intermediário, em um intervalo onde
é contínua e assume valores abaixo e acima de
, existe um ponto
tal que
Passo 3
Mostramos a unicidade de
. Calculamos a derivada
Como
para todo
, a função
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente só pode assumir um valor dado uma única vez. Logo, a equação
tem no máximo uma solução em
.
Resposta
Existe um único
tal que
.