Qual a forma do gráfico que obedece as características abaixo nas vizinhanças do ponto c.
f^{\prime}\text{(c)} não existe; f^{\prime \"}\text{(c)} não existe; f^{\prime \"}(x)<0 se x<c; f^{\prime \"}(x)>0 se x>c

Passo 1

O enunciado pede um esboço de curva em torno de x=c que satisfaça:
  1. \!f'\text{(c)} não existe.
  2. \!f''\text{(c)} não existe.
  3. \!f''(x)<0 para x<c.
  4. \!f''(x)>0 para x>c.
    O conteúdo aqui é ponto de inflexão com tangente vertical, isto é, a curvatura muda de côncava para baixo para côncava para cima, mas sem derivadas bem definidas em c.

Passo 2

Proponho a função
f(x) = -\bigl(x - c\bigr)^{\tfrac13}.
Para x\neq c temos
f'(x) = -\tfrac13\,(x - c)^{-\tfrac23}, \quad f''(x) = \tfrac{2}{9}\,(x - c)^{-\tfrac53}.

Passo 3

Analisando em x=c:
  • f'\text{(c)} não existe porque (x-c)^{-\tfrac23}\to\infty quando x\to c.
  • f''\text{(c)} não existe porque (x-c)^{-\tfrac53}\to\infty quando x\to c.

Passo 4

Verificando o sinal de f''(x):
  • Se x<c, então x-c<0 e (x-c)^{-\tfrac53}<0, logo f''(x)=\tfrac{2}{9}(x-c)^{-\tfrac53}<0 (côncava para baixo).
  • Se x>c, então (x-c)^{-\tfrac53}>0, logo f''(x)>0 (côncava para cima).

Resposta

O gráfico tem um ponto de inflexão com tangente vertical em x=c: à esquerda de c é côncavo para baixo, à direita é côncavo para cima, lembrando a vizinhança da curva y=-\sqrt[\,3]{x-c}.

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