Seja U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} o conjunto universo.
Encontre o conjunto E sabendo que F=\{4,5,6,7,8\} e C_{F}^{E}=\{4,8\}.

Passo 1

O enunciado dá claramente o conjunto universo e o conjunto F, e pede encontrar o conjunto E. Vou listar o que foi dado:
  • Universo: U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.
  • Conjunto F=\{4,5,6,7,8\}.
  • Foi dada a informação C_{F}^{E}=\{4,8\}.
Observação importante: a notação C_{F}^{E} é ambígua sem contexto padrão: pode significar o complemento de F em E (ou seja E\setminus F) ou o complemento de E em F (ou seja F\setminus E). No próximo passo vou analisar essas interpretações e escolher a que é consistente com os dados.

Passo 2

Primeira interpretação possível: C_{F}^{E}=E\setminus F (complemento de F relativo a E). Isso quer dizer que
E\setminus F=\{4,8\}.
Mas isso é impossível, porque todo elemento de E\setminus F deve NÃO pertencer a F. Contudo 4 e 8 pertencem a F (lembre que 4,8\in F), logo não podem estar em E\setminus F. Portanto a interpretação C_{F}^{E}=E\setminus F leva a contradição e deve ser descartada.

Passo 3

Segunda interpretação possível: C_{F}^{E}=F\setminus E (complemento de E relativo a F). Essa interpretação é consistente com os dados; então assumimos
F\setminus E=\{4,8\}.
Explicando o que isso significa: F\setminus E é o conjunto dos elementos que estão em F e não estão em E. Assim os elementos 4 e 8 pertencem a F e não pertencem a E. Além disso, os demais elementos de F devem pertencer a E. Formalmente, usando a decomposição disjunta
F=(F\cap E)\;\cup\;(F\setminus E),
da qual segue
F\cap E=F\setminus(F\setminus E).
Substituindo F\setminus E=\{4,8\} obtemos
F\cap E=\{4,5,6,7,8\}\setminus\{4,8\}=\{5,6,7\}.
Portanto concluímos que 5,6,7\in E e 4,8\notin E.

Passo 4

Agora consideramos os elementos que estão fora de F. O conjunto U\setminus F é
U\setminus F=\{0,1,2,3\}.
Nada no enunciado impõe restrições sobre se esses elementos estão ou não em E. Ou seja, cada elemento de \{0,1,2,3\} pode ou não pertencer a E sem violar F\setminus E=\{4,8\}. Logo a descrição completa de todos os conjuntos E que satisfazem a condição é:
E=\{5,6,7\}\cup X,
onde X é qualquer subconjunto de \{0,1,2,3\} (isto é, X\subseteq\{0,1,2,3\}).
Explicação intuitiva: dentro de F os únicos que ficam de fora de E são 4 e 8, então 5,6,7 obrigatoriamente estão em E. Quanto aos números 0,1,2,3 não há informação, então podem aparecer em E ou não.

Passo 5

Para deixar bem concreto, dois casos extremos:
  • Menor conjunto possível E (escolhendo X=\varnothing):
E_{\min}=\{5,6,7\}.
  • Maior conjunto possível E (escolhendo X=\{0,1,2,3\}):
E_{\max}= \{0,1,2,3,5,6,7\}=U\setminus\{4,8\}.
Esses dois são apenas exemplos; qualquer E entre eles (isto é, qualquer união de \{5,6,7\} com um subconjunto de \{0,1,2,3\}) satisfaz C_{F}^{E}=\{4,8\} sob a interpretação consistente C_{F}^{E}=F\setminus E.

Resposta

E=\{5,6,7\}\cup X,\\ \text{com }X\subseteq\{0,1,2,3\}.

Exercícios relacionados