Seja
o conjunto universo.
Encontre o conjunto
sabendo que
e
.
Encontre o conjunto
Passo 1
O enunciado dá claramente o conjunto universo e o conjunto
, e pede encontrar o conjunto
. Vou listar o que foi dado:
- Universo:
. - Conjunto
. - Foi dada a informação
.
Observação importante: a notação
é ambígua sem contexto padrão: pode significar o complemento de
em
(ou seja
) ou o complemento de
em
(ou seja
). No próximo passo vou analisar essas interpretações e escolher a que é consistente com os dados.
Passo 2
Primeira interpretação possível:
(complemento de
relativo a
). Isso quer dizer que
Mas isso é impossível, porque todo elemento de
deve NÃO pertencer a
. Contudo
e
pertencem a
(lembre que
), logo não podem estar em
. Portanto a interpretação
leva a contradição e deve ser descartada.
Passo 3
Segunda interpretação possível:
(complemento de
relativo a
). Essa interpretação é consistente com os dados; então assumimos
Explicando o que isso significa:
é o conjunto dos elementos que estão em
e não estão em
. Assim os elementos
e
pertencem a
e não pertencem a
. Além disso, os demais elementos de
devem pertencer a
. Formalmente, usando a decomposição disjunta
da qual segue
Substituindo
obtemos
Portanto concluímos que
e
.
Passo 4
Agora consideramos os elementos que estão fora de
. O conjunto
é
Nada no enunciado impõe restrições sobre se esses elementos estão ou não em
. Ou seja, cada elemento de
pode ou não pertencer a
sem violar
. Logo a descrição completa de todos os conjuntos
que satisfazem a condição é:
onde
é qualquer subconjunto de
(isto é,
).
Explicação intuitiva: dentro de
os únicos que ficam de fora de
são
e
, então
obrigatoriamente estão em
. Quanto aos números
não há informação, então podem aparecer em
ou não.
Passo 5
Para deixar bem concreto, dois casos extremos:
- Menor conjunto possível
(escolhendo ):
- Maior conjunto possível
(escolhendo ):
Esses dois são apenas exemplos; qualquer
entre eles (isto é, qualquer união de
com um subconjunto de
) satisfaz
sob a interpretação consistente
.