a) Calcular M=A B e N=B A.
b) Apresentar M^{-1} e N^{-1} no caso se existem.
c) No cálculo de matrizes inversas pode (ou nāo) usar a regra (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} ? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes (com x,y\in\mathbb{R}):
Pede-se:
(a) calcular M=AB e N=BA;
(b) apresentar M^{-1} e N^{-1}, quando existirem;
(c) dizer se, no cálculo de inversas, pode (ou não) usar a regra (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} e justificar.]
Passo 2
Tamanho das matrizes e regra de multiplicação (lembrando a ferramenta que vamos usar).
A é 2\times3 e B é 3\times2. Logo AB é 2\times2 e BA é 3\times3.
Regra de multiplicação: o elemento (i,j) do produto XY é o produto escalar da i-ésima linha de X pela j-ésima coluna de Y. Vou aplicar isso componente a componente, mostrando como se obtém cada entrada.
Passo 3
Calcular M=AB (produto 2\times3 por 3\times2 resulta em 2\times2).
Colunas de B:\text{col}_1(B)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]x\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(B)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Linha 1 de A: (1,0,1). Linha 2 de A: (2,1,0).
Calculemos entradas de M por produto escalar:
Calcular N=BA (produto 3\times2 por 2\times3 resulta em 3\times3).
Multiplicamos cada linha de B pelas colunas de A. Colunas de A são \,(1,2)^T,\;(0,1)^T,\;(1,0)^T\,.
Linha 1 de B é (1,0):(1,0)\cdot(1,2)=1,\qquad (1,0)\cdot(0,1)=0,\qquad (1,0)\cdot(1,0)=1.
Linha 2 de B é (0,\tfrac{1}{2}):(0,\tfrac{1}{2})\cdot(1,2)=1,\qquad (0,\tfrac{1}{2})\cdot(0,1)=\tfrac{1}{2},\qquad (0,\tfrac{1}{2})\cdot(1,0)=0.
Linha 3 de B é (x,y):(x,y)\cdot(1,2)=x+2y,\qquad (x,y)\cdot(0,1)=y,\qquad (x,y)\cdot(1,0)=x.
Assim
N=BA=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] x+2y & y & x \end{pmatrix}.]
Passo 5
Cálculo de M^{-1} (quando existe). Para uma matriz 2\times2
desde que o determinante \det(P)=ad-bc\neq0. Isso é uma fórmula padrão para inversa de 2\times2: ad-bc é o determinante e troca-se a com d e trocam-se sinais de b,c.
Aplicando a M com a=1+x,\\ b=y,\\ c=2,\\ d=\tfrac{1}{2}:
que é exatamente a linha 3 de N. Isso mostra dependência linear das linhas, impedindo inversibilidade.]
Passo 7
Resposta à pergunta (c) sobre a regra (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}:
A identidade (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} é válida quando A e B são matrizes quadradas invertíveis (de mesmo tamanho), porque então AB é quadrada invertível e tem inversa dada por essa composição. A prova é direta:
e similarmente (B^{-1}A^{-1})(AB)=I, mostrando que B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB.
No entanto, se A ou B não forem quadradas (ou não forem inversíveis), não se pode aplicar a fórmula. No nosso caso concreto A e B não são quadradas (são 2\times3 e 3\times2), portanto não têm inversa no sentido usual e não é permitido usar (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} — apesar de AB ser 2\times2 e poder eventualmente ser invertível; a fórmula não se aplica porque A^{-1} e B^{-1} não existem. Assim a regra exige pré-condição: existência de A^{-1} e B^{-1} (portanto ambas quadradas e invertíveis).
(b) M^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{1+x}{2}-2y}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -y\\[6pt]-2 & 1+x\end{pmatrix} (existe se e só se \dfrac{1+x}{2}-2y\neq0). \;N^{-1} não existe (para nenhum x,y), pois \det(N)=0.
(c) Não, só se pode usar (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} quando A e B são matrizes quadradas invertíveis (de mesmo tamanho). No caso geral, sem A^{-1} e B^{-1} a fórmula não se aplica.]