(2,5 pontos) Seja
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2} \\\ x & y \end{array}\right), \quad x, y \in \mathbb{R} .
a) Calcular M=A B e N=B A.
b) Apresentar M^{-1} e N^{-1} no caso se existem.
c) No cálculo de matrizes inversas pode (ou nāo) usar a regra (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} ? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (com x,y\in\mathbb{R}):
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{array}\right),\qquad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] x & y \end{array}\right).
Pede-se:
(a) calcular M=AB e N=BA;
(b) apresentar M^{-1} e N^{-1}, quando existirem;
(c) dizer se, no cálculo de inversas, pode (ou não) usar a regra (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} e justificar.]

Passo 2

Tamanho das matrizes e regra de multiplicação (lembrando a ferramenta que vamos usar).
  • A é 2\times3 e B é 3\times2. Logo AB é 2\times2 e BA é 3\times3.
  • Regra de multiplicação: o elemento (i,j) do produto XY é o produto escalar da i-ésima linha de X pela j-ésima coluna de Y. Vou aplicar isso componente a componente, mostrando como se obtém cada entrada.

Passo 3

Calcular M=AB (produto 2\times3 por 3\times2 resulta em 2\times2).
  • Colunas de B: \text{col}_1(B)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]x\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(B)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]y\end{pmatrix}.
  • Linha 1 de A: (1,0,1). Linha 2 de A: (2,1,0).
    Calculemos entradas de M por produto escalar:
M_{11}=(1,0,1)\cdot(1,0,x)=1\cdot1+0\cdot0+1\cdot x=1+x,
M_{12}=(1,0,1)\cdot(0,\tfrac{1}{2},y)=1\cdot0+0\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot y = y,
M_{21}=(2,1,0)\cdot(1,0,x)=2\cdot1+1\cdot0+0\cdot x = 2,
M_{22}=(2,1,0)\cdot(0,\tfrac{1}{2},y)=2\cdot0+1\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot y=\tfrac{1}{2}.
Portanto
M=AB=\begin{pmatrix}1+x & y\\[4pt]2 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular N=BA (produto 3\times2 por 2\times3 resulta em 3\times3).
Multiplicamos cada linha de B pelas colunas de A. Colunas de A são \,(1,2)^T,\;(0,1)^T,\;(1,0)^T\,.
  • Linha 1 de B é (1,0): (1,0)\cdot(1,2)=1,\qquad (1,0)\cdot(0,1)=0,\qquad (1,0)\cdot(1,0)=1.
  • Linha 2 de B é (0,\tfrac{1}{2}): (0,\tfrac{1}{2})\cdot(1,2)=1,\qquad (0,\tfrac{1}{2})\cdot(0,1)=\tfrac{1}{2},\qquad (0,\tfrac{1}{2})\cdot(1,0)=0.
  • Linha 3 de B é (x,y): (x,y)\cdot(1,2)=x+2y,\qquad (x,y)\cdot(0,1)=y,\qquad (x,y)\cdot(1,0)=x.
Assim
N=BA=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] x+2y & y & x \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de M^{-1} (quando existe). Para uma matriz 2\times2
\text{se }P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \quad\text{então}\quad P^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},ã
desde que o determinante \det(P)=ad-bc\neq0. Isso é uma fórmula padrão para inversa de 2\times2: ad-bc é o determinante e troca-se a com d e trocam-se sinais de b,c.
Aplicando a M com a=1+x,\\ b=y,\\ c=2,\\ d=\tfrac{1}{2}:
\det(M)=(1+x)\cdot\tfrac{1}{2}-y\cdot 2 = \frac{1+x}{2}-2y.
Se \det(M)\neq0 então
M^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{1+x}{2}-2y}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -y\\[6pt]-2 & 1+x\end{pmatrix}.
Podemos deixar a inversa assim (ou multiplicar numerador e denominador por 2 para evitar frações internas), por exemplo equivalente:
M^{-1}=\dfrac{2}{1+x-4y}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -y\\[6pt]-2 & 1+x\end{pmatrix} =\dfrac{1}{1+x-4y}\begin{pmatrix}1 & -2y\\[6pt]-4 & 2(1+x)\end{pmatrix},
sempre lembrando a condição de existência \dfrac{1+x}{2}-2y\neq0, isto é \;1+x-4y\neq0.]

Passo 6

Sobre N^{-1}: verificar se N é invertível. Uma maneira é calcular o determinante de N. Faço a expansão pela primeira linha:
\det(N) =1\cdot\det\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] y & x\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] x+2y & y\end{pmatrix}.
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] y & x\end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}\cdot x-0\cdot y=\tfrac{x}{2},
\det\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] x+2y & y\end{pmatrix}=1\cdot y-\tfrac{1}{2}\cdot(x+2y)=y-\tfrac{x}{2}-y=-\tfrac{x}{2}.
Assim
\det(N)=\tfrac{x}{2}+(-\tfrac{x}{2})=0.
Logo \det(N)=0 para todos x,y\in\mathbb{R}; N é sempre singular e, portanto, N^{-1} não existe.
Uma observação rápida (intuitiva) que confirma isso: a terceira linha de N é combinação linear das duas primeiras:
\text{linha}_3 = x\cdot\text{linha}_1 + 2y\cdot\text{linha}_2,
pois
x\cdot(1,0,1)+2y\cdot(1,\tfrac{1}{2},0)=(x+2y,\;y,\;x),
que é exatamente a linha 3 de N. Isso mostra dependência linear das linhas, impedindo inversibilidade.]

Passo 7

Resposta à pergunta (c) sobre a regra (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}:
  • A identidade (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} é válida quando A e B são matrizes quadradas invertíveis (de mesmo tamanho), porque então AB é quadrada invertível e tem inversa dada por essa composição. A prova é direta:
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I,
e similarmente (B^{-1}A^{-1})(AB)=I, mostrando que B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB.
  • No entanto, se A ou B não forem quadradas (ou não forem inversíveis), não se pode aplicar a fórmula. No nosso caso concreto A e B não são quadradas (são 2\times3 e 3\times2), portanto não têm inversa no sentido usual e não é permitido usar (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} — apesar de AB ser 2\times2 e poder eventualmente ser invertível; a fórmula não se aplica porque A^{-1} e B^{-1} não existem. Assim a regra exige pré-condição: existência de A^{-1} e B^{-1} (portanto ambas quadradas e invertíveis).

Resposta

(a) M=\begin{pmatrix}1+x & y\\[4pt]2 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]x+2y & y & x\end{pmatrix}.
(b) M^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{1+x}{2}-2y}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -y\\[6pt]-2 & 1+x\end{pmatrix} (existe se e só se \dfrac{1+x}{2}-2y\neq0). \;N^{-1} não existe (para nenhum x,y), pois \det(N)=0.
(c) Não, só se pode usar (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} quando A e B são matrizes quadradas invertíveis (de mesmo tamanho). No caso geral, sem A^{-1} e B^{-1} a fórmula não se aplica.]

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