A tarefa é encontrar a forma de Jordan J de A (isto é, a forma canônica de Jordan: uma matriz em blocos de Jordan que é similar a A).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz tem estrutura em blocos superior (as entradas da parte inferior esquerda são zero): separamos em blocos 2\times2A=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},comB=\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]9 & -3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & -7\\[2pt]-7 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}4 & -8\\[2pt]2 & -4\end{pmatrix}.
O objetivo final é escrever J (uma matriz 4\times4) com blocos de Jordan apropriados e justificar por que essa é a única forma de Jordan possível (até permutar blocos).]
Passo 2
Encontrar os autovalores (polinômio característico). Estratégia: usar que A é triangular por blocos, então o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de B e D.
Regra usada (fórmula importante):
Se A=\begin{pmatrix}B & C\\\ 0 & D\end{pmatrix} com blocos quadrados B,D, então \det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\cdot\det(D-\lambda I).
Calcule \det(B-\lambda I). Primeiro escrevo B-\lambda I:
Conclusão: o único autovalor é \lambda=0, com multiplicidade algébrica 4.]
Passo 3
Interpretando a informação sobre o autovalor único 0. O problema reduz-se a identificar a decomposição em blocos de Jordan para o autovalor 0. Para isso precisamos das dimensões dos núcleos de A,A^{2},\dots (as nulidades), que determinam as dimensões das cadeias de Jordan.
Primeira coisa: calcular a nulidade de A, isto é \dim\ker A. Uso redução de linhas para achar o posto e então a nulidade (\text{nulidade}=4-\text{posto}).
Observe que r_{3}=\!-0{,}4\,r_{2} (ou r_{2}=-10 e r_{3}=4 nas colunas 3 e 4): portanto r_{3} é combinação linear de r_{2}. Também r_{4} é múltiplo de r_{3}. Logo apenas r_{1} e r_{2} são linearmente independentes.
Portanto o posto de A é \operatorname{rank}(A)=2. Assim a nulidade é
\dim\ker A = 4-\operatorname{rank}(A)=4-2=2.
Interpretação: o espaço próprio associado a \lambda=0 tem dimensão 2. Em termos de Jordan, o número de blocos de Jordan (para o autovalor 0) é igual à nulidade de A, isto é há exatamente 2 blocos de Jordan.
Passo 4
Calcular A^{2} para descobrir o índice de nilpotência (o menor k tal que A^{k}=0). Isso nos dá o tamanho máximo dos blocos de Jordan (por exemplo, se A^{2}=0 então todos os blocos têm tamanho \le 2).
Usando a estrutura por blocos A=\begin{pmatrix}B & C\\[2pt]0 & D\end{pmatrix}, tem-se
Conclusão: A^{2}=0 (matriz nula). Assim A é nilpotente de índice 2: a cadeia de potências termina já em 2. Isso implica que todos os blocos de Jordan têm tamanho no máximo 2 (pois um bloco de tamanho m daria contribuição não-nula a A^{m-1}).]
Passo 5
Combine as informações sobre nulidades e índice de nilpotência para determinar os tamanhos dos blocos de Jordan.
Temos multiplicidade algébrica de 0 igual a 4 (somatório dos tamanhos dos blocos = 4).
Temos \dim\ker A=2, o que significa que o número de blocos de Jordan é 2.
Como A^{2}=0, nenhum bloco pode ter tamanho maior que 2.
Logo a única partição de 4 em exatamente 2 blocos com cada bloco de tamanho \le 2 é 2+2. Ou seja, há dois blocos de Jordan de tamanho 2 associados ao autovalor 0.
Passo 6
Escrever explicitamente a forma de Jordan J. Cada bloco de Jordan de tamanho 2 para o autovalor 0 é
Isto representa a forma canônica de Jordan de A. (Obs.: permutações dos blocos — trocar a ordem dos dois blocos J_{2}(0) — dão formas semelhantes; a forma acima é a escolha padrão com blocos em diagonal.)]