Ache a forma de Jordan J da matriz A \in \mathbb{M}_{4}(\mathbb{R}), onde
A=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -3 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Foi dada a matriz A\in\mathbb{M}_{4}(\mathbb{R}):
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & -7 \\\\ 9 & -3 & -7 & -1 \\\\ 0 & 0 & 4 & -8 \\\\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
  • A tarefa é encontrar a forma de Jordan J de A (isto é, a forma canônica de Jordan: uma matriz em blocos de Jordan que é similar a A).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz tem estrutura em blocos superior (as entradas da parte inferior esquerda são zero): separamos em blocos 2\times2 A=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},com B=\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]9 & -3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & -7\\[2pt]-7 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}4 & -8\\[2pt]2 & -4\end{pmatrix}.
  • O objetivo final é escrever J (uma matriz 4\times4) com blocos de Jordan apropriados e justificar por que essa é a única forma de Jordan possível (até permutar blocos).]

Passo 2

Encontrar os autovalores (polinômio característico). Estratégia: usar que A é triangular por blocos, então o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de B e D.
Regra usada (fórmula importante):
  • Se A=\begin{pmatrix}B & C\\\ 0 & D\end{pmatrix} com blocos quadrados B,D, então \det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\cdot\det(D-\lambda I).
Calcule \det(B-\lambda I). Primeiro escrevo B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[2pt]9 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(B-\lambda I)=(3-\lambda)(-3-\lambda)-(-1)\cdot 9.
Faço a conta passo a passo:
(3-\lambda)(-3-\lambda)=-(3-\lambda)(3+\lambda)=-(9-\lambda^{2})=-9+\lambda^{2}.
Somando o +9 vindo do termo -(-1)\cdot9
\det(B-\lambda I)=(-9+\lambda^{2})+9=\lambda^{2}.
Logo o polinômio característico de B é \lambda^{2} (autovalor 0 com multiplicidade 2).
Agora calcule \det(D-\lambda I). Escrevo
D-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & -8\\[2pt]2 & -4-\lambda\end{pmatrix},
e o determinante:
\det(D-\lambda I)=(4-\lambda)(-4-\lambda)-(-8)\cdot 2.
De novo:
(4-\lambda)(-4-\lambda)=-(4-\lambda)(4+\lambda)=-(16-\lambda^{2})=-16+\lambda^{2},
e somando o +16 (vindo de -(-8)\cdot2) resulta
\det(D-\lambda I)=(-16+\lambda^{2})+16=\lambda^{2}.
Portanto o polinômio característico de D também é \lambda^{2}.
Assim o polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\det(D-\lambda I)=\lambda^{2}\cdot\lambda^{2}=\lambda^{4}.
Conclusão: o único autovalor é \lambda=0, com multiplicidade algébrica 4.]

Passo 3

Interpretando a informação sobre o autovalor único 0. O problema reduz-se a identificar a decomposição em blocos de Jordan para o autovalor 0. Para isso precisamos das dimensões dos núcleos de A,A^{2},\dots (as nulidades), que determinam as dimensões das cadeias de Jordan.
Primeira coisa: calcular a nulidade de A, isto é \dim\ker A. Uso redução de linhas para achar o posto e então a nulidade ( \text{nulidade}=4-\text{posto}).
Escrevo as linhas de A:
r_{1}=(3,\,-1,\,1,\,-7),\quad r_{2}=(9,\,-3,\,-7,\,-1),\quad r_{3}=(0,\,0,\,4,\,-8),\quad r_{4}=(0,\,0,\,2,\,-4).
Faço a operação r_{2}\leftarrow r_{2}-3r_{1}. Calculo cada entrada:
r_{2}-3r_{1}=(9-9,\,-3-(-3),\,-7-3\cdot1,\,-1-3\cdot(-7))=(0,0,-10,20).
Agora as linhas são
r_{1}=(3,-1,1,-7),\quad r_{2}=(0,0,-10,20),\quad r_{3}=(0,0,4,-8),\quad r_{4}=(0,0,2,-4).
Observe que r_{3}=\!-0{,}4\,r_{2} (ou r_{2}=-10 e r_{3}=4 nas colunas 3 e 4): portanto r_{3} é combinação linear de r_{2}. Também r_{4} é múltiplo de r_{3}. Logo apenas r_{1} e r_{2} são linearmente independentes.
Portanto o posto de A é \operatorname{rank}(A)=2. Assim a nulidade é
\dim\ker A = 4-\operatorname{rank}(A)=4-2=2.
Interpretação: o espaço próprio associado a \lambda=0 tem dimensão 2. Em termos de Jordan, o número de blocos de Jordan (para o autovalor 0) é igual à nulidade de A, isto é há exatamente 2 blocos de Jordan.

Passo 4

Calcular A^{2} para descobrir o índice de nilpotência (o menor k tal que A^{k}=0). Isso nos dá o tamanho máximo dos blocos de Jordan (por exemplo, se A^{2}=0 então todos os blocos têm tamanho \le 2).
Usando a estrutura por blocos A=\begin{pmatrix}B & C\\[2pt]0 & D\end{pmatrix}, tem-se
A^{2}=\begin{pmatrix}B^{2} & BC+CD\\[2pt]0 & D^{2}\end{pmatrix}.
Já calculamos que B e D têm polinômios característicos \lambda^{2}, e uma verificação direta mostra que B^{2}=0 e D^{2}=0. Faço as contas rápidas:
Calcule B^{2}:
B^{2}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]9 & -3\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}3\cdot3+(-1)\cdot9 & 3\cdot(-1)+(-1)\cdot(-3)\\[2pt] 9\cdot3+(-3)\cdot9 & 9\cdot(-1)+(-3)\cdot(-3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule D^{2} da mesma forma:
D^{2}=\begin{pmatrix}4 & -8\\[2pt]2 & -4\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo BC e CD para ver BC+CD:
  • Já temos B e C. Multiplicando:
BC=\begin{pmatrix}10 & -20\\[2pt]30 & -60\end{pmatrix}.
  • E
CD=\begin{pmatrix}-10 & 20\\[2pt]-30 & 60\end{pmatrix}.
Logo
BC+CD=\begin{pmatrix}10-10 & -20+20\\[2pt]30-30 & -60+60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}_{4\times4}=0.
Conclusão: A^{2}=0 (matriz nula). Assim A é nilpotente de índice 2: a cadeia de potências termina já em 2. Isso implica que todos os blocos de Jordan têm tamanho no máximo 2 (pois um bloco de tamanho m daria contribuição não-nula a A^{m-1}).]

Passo 5

Combine as informações sobre nulidades e índice de nilpotência para determinar os tamanhos dos blocos de Jordan.
  • Temos multiplicidade algébrica de 0 igual a 4 (somatório dos tamanhos dos blocos = 4).
  • Temos \dim\ker A=2, o que significa que o número de blocos de Jordan é 2.
  • Como A^{2}=0, nenhum bloco pode ter tamanho maior que 2.
Logo a única partição de 4 em exatamente 2 blocos com cada bloco de tamanho \le 2 é 2+2. Ou seja, há dois blocos de Jordan de tamanho 2 associados ao autovalor 0.

Passo 6

Escrever explicitamente a forma de Jordan J. Cada bloco de Jordan de tamanho 2 para o autovalor 0 é
J_{2}(0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Como temos dois desses blocos, a forma de Jordan J (em blocos diagonais) é
J=\begin{pmatrix} J_{2}(0) & 0\\[6pt] 0 & J_{2}(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Isto representa a forma canônica de Jordan de A. (Obs.: permutações dos blocos — trocar a ordem dos dois blocos J_{2}(0) — dão formas semelhantes; a forma acima é a escolha padrão com blocos em diagonal.)]

Resposta

J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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