Verifique se as matrizes seguintes são semelhantes
A=\left(\begin{array}{rrrr} -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se as matrizes A e B são semelhantes (ou seja, se existe uma matriz invertível P tal que B=P^{-1}AP).
Informações dadas (copiadas do enunciado):
A=\left(\begin{array}{rrrr} -1 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right),\qquad B=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right).
O enunciado não pede construir P; pede apenas verificar se existe. Para isso vamos comparar invariantes de similaridade que podemos calcular explicitamente a partir das matrizes.

Passo 2

Rápida explicação didática: duas matrizes semelhantes têm, entre outras coisas, o mesmo polinômio característico e a mesma estrutura de blocos de Jordan (ou seja, mesmas multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor). Portanto um procedimento prático é:
  • calcular o polinômio característico de cada uma e comparar;
  • se os polinômios forem iguais, comparar a dimensão dos espaços próprios (nullidades de A-\lambda I e B-\lambda I) para cada autovalor — isso indica o número de blocos de Jordan correspondentes.
Começo calculando o polinômio característico de A. Escrevo A-\lambda I e uso a expansão por cofatores aproveitando que a última linha tem zeros exceto a última entrada:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} -1-\lambda & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1-\lambda & 0 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1-\lambda & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante por linha 4 (único elemento não nulo é 1-\lambda) obtemos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\!\begin{pmatrix} -1-\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\\ -1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Agora o determinante do 3\times3 é produto das diagonais porque as outras entradas relevantes são zero:
\det\!\begin{pmatrix} -1-\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 1-\lambda & 0 \\\\ -1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}=(-1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)=(-1-\lambda)(1-\lambda)^2.
Portanto
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(1-\lambda)^3.
Reescrevendo em fatores canônicos,
\det(A-\lambda I)=(\lambda+1)(\lambda-1)^3.

Passo 3

Faço o mesmo para B. Primeiro escrevo B-\lambda I e observo novamente que a última linha tem zeros exceto a última entrada:
B-\lambda I= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1-\lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1-\lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo por linha 4:
\det(B-\lambda I)=(-1-\lambda)\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\\\ -1 & 1-\lambda & 0 \\\\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante do 3\times3 é (1-\lambda)^3 (novamente pela forma triangular efetiva), então
\det(B-\lambda I)=(-1-\lambda)(1-\lambda)^3=(\lambda+1)(\lambda-1)^3.
Conclusão intermediária: A e B têm o mesmo polinômio característico \,(\lambda+1)(\lambda-1)^3. Isso é necessário para similaridade, mas não suficiente. Precisamos comparar a estrutura de blocos de Jordan para o autovalor \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3).

Passo 4

Explicação didática sobre multiplicidade geométrica: a multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I). Essa dimensão é igual ao número de blocos de Jordan correspondentes a \lambda. Assim, para \lambda=1 (que tem multiplicidade algébrica 3) as possibilidades de blocos de Jordan são:
  • um bloco de tamanho 3 (geometric mult =1);
  • um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1 (geometric mult =2);
  • três blocos de tamanho 1 (geometric mult =3, ou seja diagonalizável).
Para decidir, vou calcular \dim\ker(A-I) e \dim\ker(B-I).

Passo 5

Calculo \ker(A-I)\). Primeiro escrevo \(A-I\): \[A-I=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ -1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T satisfaz (A-I)x=0, as equações lineares correspondentes são:
\begin{cases} -2x_1-2x_4=0,\\[4pt] 4x_4=0,\\[4pt] - x_1 + x_4=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_4=0\]. Substituindo em primeira e terceira obtemos \(x_1=0. Não há restrição sobre x_2 e x_3, então x_2 e x_3 são livres. Portanto
\dim\ker(A-I)=2.
Interpretação: para \lambda=1 a multiplicidade geométrica em A é 2. Com multiplicidade algébrica 3, isso corresponde ao caso de blocos de Jordan de tamanhos 2 e 1 (ou seja, partida 3=2+1).]

Passo 6

Calculo \ker(B-I)\). Escrevo \(B-I\): \[B-I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T satisfaz (B-I)x=0, as equações são:
\begin{cases} 0=0,\\[4pt] - x_1 =0,\\[4pt] x_2 =0,\\[4pt] -2x_4=0. \end{cases}
Dessas vem x_1=0\], \(x_2=0, x_4=0, e somente x_3 é livre. Portanto
\dim\ker(B-I)=1.
Interpretação: para \lambda=1 a multiplicidade geométrica em B é 1. Com multiplicidade algébrica 3, isso corresponde a um único bloco de Jordan de tamanho 3.]

Passo 7

Conclusão final e justificativa: as matrizes A e B têm o mesmo polinômio característico, mas a estrutura de blocos de Jordan para o autovalor \lambda=1 é diferente: A tem multiplicidade geométrica 2 (blocos de tamanhos 2 e 1), enquanto B tem multiplicidade geométrica 1 (um bloco de tamanho 3). Como o número e os tamanhos dos blocos de Jordan são invariantes de similaridade, isso impede que exista P invertível com B=P^{-1}AP. Logo as matrizes não são semelhantes.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes.

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