(2 pontos) Seja Q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a forma quadrática dada por
Q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+2 x y-3 x z+y z .
Qual é a matriz de Q na base \mathcal{B}=\{(3,0,1),(1,-1,2),(2,1,2)\} de \mathbb{R}^{3} ?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
Pede-se a matriz da forma quadrática Q:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por
Q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-3xz+yz
na base \mathcal{B}=\{(3,0,1),(1,-1,2),(2,1,2)\} de \mathbb{R}^{3}.
Informações fornecidas:
A expressão explícita de Q.
A base \mathcal{B} com os vetores v_{1}=(3,0,1), v_{2}=(1,-1,2), v_{3}=(2,1,2).
Passo 2
Construir a matriz A de Q na base canônica. Explicação prática: para uma forma quadrática escrita como soma de termos quadráticos e mistos, a matriz simétrica A tem nas diagonais os coeficientes dos termos quadrados e, para i\neq j, vale 2a_{ij} é o coeficiente do termo x_i x_j. Aplicando isso:
coeficiente de x^{2} é 1 então a_{11}=1;
coeficiente de y^{2} é 1 então a_{22}=1;
coeficiente de z^{2} é -1 então a_{33}=-1;
coeficiente de xy é 2 então 2a_{12}=2\Rightarrow a_{12}=1;
coeficiente de xz é -3 então 2a_{13}=-3\Rightarrow a_{13}=-\tfrac{3}{2};
coeficiente de yz é 1 então 2a_{23}=1\Rightarrow a_{23}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a matriz A (na base canônica, com ordem (x,y,z)) é
Comentário rápido e encorajador: o procedimento geral é sempre o mesmo — formar a matriz simétrica A da forma na base canônica, montar P com as colunas sendo os vetores da base pedida e calcular P^{T}AP. Fizemos as contas manualmente mantendo frações exatas para evitar erros numéricos. Se quiser, posso mostrar como verificar numericamente que v_{i}^{T}A v_{j} bate com cada entrada (já foi feito nas contas), ou reescrever a matriz com todos os elementos em frações ou em decimais, o que preferir.