(2 pontos) Seja Q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a forma quadrática dada por
Q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+2 x y-3 x z+y z .
Qual é a matriz de Q na base \mathcal{B}=\{(3,0,1),(1,-1,2),(2,1,2)\} de \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede-se a matriz da forma quadrática Q:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por
Q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-3xz+yz
na base \mathcal{B}=\{(3,0,1),(1,-1,2),(2,1,2)\} de \mathbb{R}^{3}.
  • Informações fornecidas:
    • A expressão explícita de Q.
    • A base \mathcal{B} com os vetores v_{1}=(3,0,1), v_{2}=(1,-1,2), v_{3}=(2,1,2).

Passo 2

Construir a matriz A de Q na base canônica. Explicação prática: para uma forma quadrática escrita como soma de termos quadráticos e mistos, a matriz simétrica A tem nas diagonais os coeficientes dos termos quadrados e, para i\neq j, vale 2a_{ij} é o coeficiente do termo x_i x_j. Aplicando isso:
  • coeficiente de x^{2} é 1 então a_{11}=1;
  • coeficiente de y^{2} é 1 então a_{22}=1;
  • coeficiente de z^{2} é -1 então a_{33}=-1;
  • coeficiente de xy é 2 então 2a_{12}=2\Rightarrow a_{12}=1;
  • coeficiente de xz é -3 então 2a_{13}=-3\Rightarrow a_{13}=-\tfrac{3}{2};
  • coeficiente de yz é 1 então 2a_{23}=1\Rightarrow a_{23}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a matriz A (na base canônica, com ordem (x,y,z)) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -\tfrac{3}{2} \\\\ 1 & 1 & \tfrac{1}{2} \\\\ -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Montar a matriz de mudança de base P. Regra prática: as colunas de P são as coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} na base canônica. Assim
P=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é v_{1}, coluna 2 é v_{2}, coluna 3 é v_{3}.
Fórmula que usamos (e por que): a matriz de Q na base \mathcal{B} é
M_{\mathcal{B}}=P^{T} A P.
Isso decorre do fato geral de mudança de base para formas bilineares/quadráticas: entradas de M_{\mathcal{B}} são m_{ij}=v_{i}^{T} A v_{j}.

Passo 4

Calcular A P. É mais prático calcular coluna a coluna: cada coluna de AP é A v_{j}.
  • Coluna 1: A v_{1}=A(3,0,1).
    A(3,0,1)=\begin{pmatrix} 1\cdot3 + 1\cdot0 + (-\tfrac{3}{2})\cdot1 \\\\ 1\cdot3 + 1\cdot0 + \tfrac{1}{2}\cdot1 \\\\ -\tfrac{3}{2}\cdot3 + \tfrac{1}{2}\cdot0 + (-1)\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2} \\[4pt] \tfrac{7}{2} \\[4pt] -\tfrac{11}{2} \end{pmatrix}.
  • Coluna 2: A v_{2}=A(1,-1,2).
    A(1,-1,2)=\begin{pmatrix} 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-\tfrac{3}{2})\cdot2 \\\\ 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + \tfrac{1}{2}\cdot2 \\\\ -\tfrac{3}{2}\cdot1 + \tfrac{1}{2}\cdot(-1) + (-1)\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3 \\[4pt] 1 \\[4pt] -4 \end{pmatrix}.
  • Coluna 3: A v_{3}=A(2,1,2).
    A(2,1,2)=\begin{pmatrix} 1\cdot2 + 1\cdot1 + (-\tfrac{3}{2})\cdot2 \\\\ 1\cdot2 + 1\cdot1 + \tfrac{1}{2}\cdot2 \\\\ -\tfrac{3}{2}\cdot2 + \tfrac{1}{2}\cdot1 + (-1)\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\[4pt] 4 \\[4pt] -\tfrac{9}{2} \end{pmatrix}.
Logo
AP=\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2} & -3 & 0 \\\ \tfrac{7}{2} & 1 & 4 \\\\ -\tfrac{11}{2} & -4 & -\tfrac{9}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calcular M_{\mathcal{B}}=P^{T}(AP). Escrevendo P^{T}:
P^{T}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Multiplicação linha por coluna (cada entrada m_{ij} é produto escalar da i-ésima linha de P^{T} com a j-ésima coluna de AP).
Cálculos detalhados das entradas:
  • m_{11}=(3,0,1)\cdot\big(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{2},-\tfrac{11}{2}\big) =3\cdot\tfrac{3}{2}+0\cdot\tfrac{7}{2}+1\cdot\big(-\tfrac{11}{2}\big) =\tfrac{9}{2}-\tfrac{11}{2}=-1.
  • m_{12}=(3,0,1)\cdot(-3,1,-4)=3\cdot(-3)+0\cdot1+1\cdot(-4)=-13.
  • m_{13}=(3,0,1)\cdot\big(0,4,-\tfrac{9}{2}\big)=0+0+1\cdot\big(-\tfrac{9}{2}\big)=-\tfrac{9}{2}.
Uso da simetria para checar: m_{21}=m_{12}=-13, m_{31}=m_{13}=-\tfrac{9}{2}. Ainda calculamos as restantes:
  • m_{22}=(1,-1,2)\cdot(-3,1,-4)=1\cdot(-3)+(-1)\cdot1+2\cdot(-4)=-3-1-8=-12.
  • m_{23}=(1,-1,2)\cdot\big(0,4,-\tfrac{9}{2}\big)=0-4+2\cdot\big(-\tfrac{9}{2}\big)=-4-9=-13.
  • m_{33}=(2,1,2)\cdot\big(0,4,-\tfrac{9}{2}\big)=0+4+2\cdot\big(-\tfrac{9}{2}\big)=4-9=-5.
Assim obtemos
M_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} -1 & -13 & -\tfrac{9}{2} \\\\ -13 & -12 & -13 \\\\ -\tfrac{9}{2} & -13 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 6

Comentário rápido e encorajador: o procedimento geral é sempre o mesmo — formar a matriz simétrica A da forma na base canônica, montar P com as colunas sendo os vetores da base pedida e calcular P^{T}AP. Fizemos as contas manualmente mantendo frações exatas para evitar erros numéricos. Se quiser, posso mostrar como verificar numericamente que v_{i}^{T}A v_{j} bate com cada entrada (já foi feito nas contas), ou reescrever a matriz com todos os elementos em frações ou em decimais, o que preferir.

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & -13 & -\tfrac{9}{2} \\ -13 & -12 & -13 \\ -\tfrac{9}{2} & -13 & -5 \end{pmatrix} ]

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