Seja a reta r: \frac{x+2}{5}=\frac{-y+3}{7}=z-4. Temos que o vetor diretor \vec{r} e o ponto P utilizados para obter essa equação foram:
Escolha uma opção:
◯ a. \vec{r}=(5,7,-1) e o ponto P=(2,-3,4)
◯ b. \vec{r}=(5,-7,-1) e o ponto P=(2,-3,4)
◯ c. \vec{r}=(-5,7,-1) e o ponto P=(-2,3,4)
◯ d. \vec{r}=(5,-7,1) e o ponto P=(-2,3,4)
◯ e. \vec{r}=(5,-7,1) e o ponto P=(2,3,-4)

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
\frac{x+2}{5}=\frac{-y+3}{7}=z-4
e pede: identificar o vetor diretor \vec{r} e o ponto P que foram usados para obter essa equação. As opções fornecidas são (a) a (e) listadas no enunciado.

Passo 2

Entendendo a forma simétrica de uma reta no espaço: quando uma reta está escrita como
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
então o vetor diretor é \vec{r}=(a,b,c) e o ponto usado é P=(x_0,y_0,z_0). Vou aplicar exatamente essa correspondência às três frações da reta dada.

Passo 3

Trabalhando a primeira fração \dfrac{x+2}{5}. Podemos reescrevê-la como
\frac{x-(-2)}{5},
logo x_0=-2 e o componente correspondente do vetor diretor é a=5.

Passo 4

Agora a segunda fração \dfrac{-y+3}{7}. Repare que -y+3=-(y-3), portanto
\frac{-y+3}{7}=\frac{y-3}{-7}.
Dessa forma identificamos y_0=3 e o componente correspondente do vetor diretor é b=-7.

Passo 5

A terceira fração é z-4. Isso é o mesmo que \dfrac{z-4}{1}. Então z_0=4 e o componente correspondente do vetor diretor é c=1.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores temos o vetor diretor
\vec{r}=(5,-7,1)
e o ponto
P = (-2,\,3,\,4).
Uma verificação rápida com forma paramétrica: se t for o parâmetro comum, obtemos
x=-2+5t,\qquad y=3-7t,\qquad z=4+1\cdot t.
Tomando t=0 recuperamos o ponto P=(-2,3,4), confirmando a identificação.

Passo 7

Comparei \vec{r}=(5,-7,1) e P=(-2,3,4) com as opções dadas e a que corresponde exatamente é a opção (d).

Resposta

d.

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