(2 pontos) Considere a forma quadrática Q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
Q(x, y)=2 x^{2}+3 x y-y^{2}
Determine uma base \mathcal{B} e números reais a e b tais que
[v]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ y_{1} \end{array}\right] \text { e } Q(v)=a x_{1}^{2}+b y_{1}^{2} .

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática Q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
Q(x,y)=2x^{2}+3xy-y^{2}.
Pede-se: determinar uma base \mathcal{B} de \mathbb{R}^2 e números reais a e b tais que, para todo vetor v com coordenadas em \mathcal{B} iguais a
[v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]y_{1}\end{pmatrix},
tenha-se
Q(v)=a x_{1}^{2}+b y_{1}^{2}.
Informações relevantes: a expressão explícita de Q em coordenadas canônicas (isto é, em termos de x e y) é dada acima. A tarefa é encontrar uma mudança de base (uma transformação linear invertível nas coordenadas) que transforme a forma quadrática numa soma de termos quadráticos sem termos mistos (ou seja, apenas x_{1}^{2} e y_{1}^{2} com coeficientes a e b).]

Passo 2

Estratégia escolhida (sem complicar): para duas variáveis é muito prático eliminar o termo misto xy por completar quadrados. Vou transformar Q(x,y) escrevendo-a como soma ou diferença de quadrados perfeitos em uma combinação linear de x e y. Isso dá diretamente uma mudança de coordenadas simples do tipo x_{1}=\alpha x+\beta y,\;y_{1}=\gamma x+\delta y, mas aqui faremos a escolha mais direta: definir x_{1} igual a uma combinação de x e y que elimina o termo misto.

Passo 3

Calcular o completamento de quadrado cuidadosamente. Começo tentando agrupar em torno de x:
Q(x,y)=2x^{2}+3xy-y^{2}.
Procuro escrever 2x^{2}+3xy como 2(x+ky)^{2} mais um resto. Desenvolvendo 2(x+ky)^{2}:
2(x+ky)^{2}=2x^{2}+4k\,xy+2k^{2}y^{2}.
Quero que o coeficiente de xy seja 3, portanto imponho 4k=3, ou seja k=\tfrac{3}{4}. Substituindo:
2(x+\tfrac{3}{4}y)^{2}=2x^{2}+3xy+\tfrac{9}{8}y^{2}.
Agora subtraio esse termo de Q para obter o resto:
Q(x,y)=2(x+\tfrac{3}{4}y)^{2} \;+\; \bigl(-y^{2}-\tfrac{9}{8}y^{2}\bigr).
Somando os coeficientes do termo y^{2} no parêntese:
-y^{2}-\tfrac{9}{8}y^{2}=-\tfrac{17}{8}y^{2}.
Logo, a identidade final é
Q(x,y)=2\bigl(x+\tfrac{3}{4}y\bigr)^{2}-\tfrac{17}{8}y^{2}.

Passo 4

Interpretando o resultado como mudança de coordenadas. Defino novas coordenadas (x_{1},y_{1}) por
x_{1}=x+\tfrac{3}{4}y,\qquad y_{1}=y.
Essas são expressões lineares em x,y. Agora resolvo para x,y em função de x_{1},y_{1}:
y=y_{1},\qquad x=x_{1}-\tfrac{3}{4}y_{1}.
Então um vetor v=(x,y) (coordenadas canônicas) pode ser escrito como
v=x\,\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+y\,\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} = x_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} + y_{1}\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isto mostra que a coleção de vetores
\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
é uma base de \mathbb{R}^{2} (os vetores são linearmente independentes porque o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é 1\neq0) e que, com respeito a essa base, as coordenadas do vetor v são exatamente [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]y_{1}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação final da forma quadrática nas novas coordenadas: usando x_{1}=x+\tfrac{3}{4}y e y_{1}=y obtivemos a identidade do Passo 3, portanto para qualquer v com [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]y_{1}\end{pmatrix} vale
Q(v)=2x_{1}^{2}-\tfrac{17}{8}y_{1}^{2}.
Assim os coeficientes pedidos são a=2 e b=-\tfrac{17}{8}.]

Resposta

\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
a=2,\; b=-\tfrac{17}{8}]

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