(2 pontos) Considere a forma quadrática
definida por
Determine uma base
e números reais
e
tais que
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
definida por
Pede-se: determinar uma base
de
e números reais
e
tais que, para todo vetor
com coordenadas em
iguais a
tenha-se
Informações relevantes: a expressão explícita de
em coordenadas canônicas (isto é, em termos de
e
) é dada acima. A tarefa é encontrar uma mudança de base (uma transformação linear invertível nas coordenadas) que transforme a forma quadrática numa soma de termos quadráticos sem termos mistos (ou seja, apenas
e
com coeficientes
e
).]
Passo 2
Estratégia escolhida (sem complicar): para duas variáveis é muito prático eliminar o termo misto
por completar quadrados. Vou transformar
escrevendo-a como soma ou diferença de quadrados perfeitos em uma combinação linear de
e
. Isso dá diretamente uma mudança de coordenadas simples do tipo
, mas aqui faremos a escolha mais direta: definir
igual a uma combinação de
e
que elimina o termo misto.
Passo 3
Calcular o completamento de quadrado cuidadosamente. Começo tentando agrupar em torno de
:
Procuro escrever
como
mais um resto. Desenvolvendo
:
Quero que o coeficiente de
seja
, portanto imponho
, ou seja
. Substituindo:
Agora subtraio esse termo de
para obter o resto:
Somando os coeficientes do termo
no parêntese:
Logo, a identidade final é
Passo 4
Interpretando o resultado como mudança de coordenadas. Defino novas coordenadas
por
Essas são expressões lineares em
. Agora resolvo para
em função de
:
Então um vetor
(coordenadas canônicas) pode ser escrito como
Isto mostra que a coleção de vetores
é uma base de
(os vetores são linearmente independentes porque o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
) e que, com respeito a essa base, as coordenadas do vetor
são exatamente
.]
Passo 5
Verificação final da forma quadrática nas novas coordenadas: usando
e
obtivemos a identidade do Passo 3, portanto para qualquer
com
vale
Assim os coeficientes pedidos são
e
.]