Verificar quais operadores lineares
a seguir são inversíveis e, para aqueles que forem, encontrar uma fórmula para
.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
O que é pedido:
- Verificar se
é inversível (isto é, se existe ); - Se for inversível, encontrar uma fórmula explícita para
.
As informações relevantes do enunciado são a regra de
para um vetor arbitrário
.
Passo 2
Representar
por matriz e lembrar um critério prático de inversibilidade.
Um operador linear em
pode ser visto como multiplicação por uma matriz
. A matriz correspondente a
em coordenadas canônicas é
pois
.
Fato importante (explicação didática): para uma matriz
o determinante é
. Em espaços de dimensão finita, uma matriz (ou operador linear) é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Intuição simples:
significa que as colunas não são múltiplos uma da outra (não são linearmente dependentes), logo a transformação não “amontoa” o plano em uma reta ou ponto, podendo ser revertida.]
Passo 3
Calcular o determinante de
.
Usando a fórmula acima com
,
,
,
:
Como
, concluímos que
(e portanto
) é inversível.
Passo 4
Encontrar a fórmula da inversa usando a fórmula da inversa para uma matriz
.
Para uma matriz
com determinante
,
Aqui
,
,
,
e
. Então a adjunta (matriz de cofatores transposta) é
Logo
Passo 5
Interpretar a inversa como operador
e escrever a fórmula em coordenadas.
Se
é o vetor imagem
, então o pré-imagem
é dada por multiplicação por
:
(Verificação alternativa, para fixar a ideia: resolvendo o sistema
; por eliminação obtém-se primeiro
e depois
, coincidindo com a expressão acima.)]
Passo 6
Resumo e comentário rápido de confiança.
Como
,
é inversível. A matriz inversa foi calculada explicitamente e a fórmula para
foi dada. A multiplicação
retorna a matriz identidade, confirmando a inversão.