Verificar quais operadores lineares T a seguir são inversíveis e, para aqueles que forem, encontrar uma fórmula para T^{-1}.
(a) T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x-2 y,-2 x+3 y).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x-2y,\,-2x+3y).
O que é pedido:
  • Verificar se T é inversível (isto é, se existe T^{-1});
  • Se for inversível, encontrar uma fórmula explícita para T^{-1}.
As informações relevantes do enunciado são a regra de T para um vetor arbitrário (x,y).

Passo 2

Representar T por matriz e lembrar um critério prático de inversibilidade.
Um operador linear em \mathbb{R}^2 pode ser visto como multiplicação por uma matriz 2\times2. A matriz correspondente a T em coordenadas canônicas é
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix},
pois A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2y\\[2pt]-2x+3y\end{pmatrix}.
Fato importante (explicação didática): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[2pt]c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det=\;ad-bc. Em espaços de dimensão finita, uma matriz (ou operador linear) é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Intuição simples: \det\neq0 significa que as colunas não são múltiplos uma da outra (não são linearmente dependentes), logo a transformação não “amontoa” o plano em uma reta ou ponto, podendo ser revertida.]

Passo 3

Calcular o determinante de A.
Usando a fórmula acima com a=1, b=-2, c=-2, d=3:
\det(A)=1\cdot 3 - (-2)\cdot(-2)=3-4=-1.
Como \det(A)=-1\neq 0, concluímos que A (e portanto T) é inversível.

Passo 4

Encontrar a fórmula da inversa usando a fórmula da inversa para uma matriz 2\times2.
Para uma matriz 2\times2 com determinante \det\neq0,
\begin{pmatrix}a & b\\[2pt]c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1, b=-2, c=-2, d=3 e \det(A)=-1. Então a adjunta (matriz de cofatores transposta) é
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}3 & 2\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Logo
A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}3 & 2\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -2\\[2pt]-2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretar a inversa como operador T^{-1} e escrever a fórmula em coordenadas.
Se (u,v)\in\mathbb{R}^2 é o vetor imagem (u,v)=T(x,y), então o pré-imagem (x,y)=T^{-1}(u,v) é dada por multiplicação por A^{-1}:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & -2\\[2pt]-2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3u-2v\\[2pt]-2u-v\end{pmatrix}.
(Verificação alternativa, para fixar a ideia: resolvendo o sistema
\;x-2y=u,\; -2x+3y=v; por eliminação obtém-se primeiro y=-2u-v e depois x=-3u-2v, coincidindo com a expressão acima.)]

Passo 6

Resumo e comentário rápido de confiança.
Como \det(A)=-1\neq0, T é inversível. A matriz inversa foi calculada explicitamente e a fórmula para T^{-1} foi dada. A multiplicação A\cdot A^{-1} retorna a matriz identidade, confirmando a inversão.

Resposta

T é inversível.
T^{-1}(u,v)=(-3u-2v,\,-2u-v).

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