Para cada equação abaixo:
2 x^{2}+3 y^{2}+8 x-18 y+20=0.
(a) complete quadrados; (b) encontre a translação necessária; (c) escreva a forma canônica; (d) classifique a cônica; (e) determine centro/vértices/eixos; (f) calcule focos/excentricidade ou diretriz; (g) faça um esboço.

Passo 1

O enunciado dá a equação
2x^{2}+3y^{2}+8x-18y+20=0
e pede, para essa única cônica, as seguintes coisas:
(a) completar os quadrados; (b) encontrar a translação necessária; (c) escrever a forma canônica; (d) classificar a cônica; (e) determinar centro, vértices e eixos; (f) calcular focos, excentricidade e diretrizes; (g) fazer um esboço.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são 2 para x^{2} e 3 para y^{2}; não há termo xy (ou seja, eixos possivelmente alinhados com os eixos coordenados); existem termos lineares 8x e -18y e termo constante 20.

Passo 2

Agrupar termos em x e em y e preparar para completar quadrados. Primeiro escrevo os termos agrupados:
2x^{2}+8x \quad\text{e}\quad 3y^{2}-18y,
mantendo o +20. Coloco em evidência 2 no grupo de x e 3 no de y:
2\bigl(x^{2}+4x\bigr)+3\bigl(y^{2}-6y\bigr)+20=0.
Agora a ideia de completar o quadrado: para uma expressão do tipo x^{2}+bx a identidade útil é
x^{2}+bx=\bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Exemplo rápido (aprender o padrão): x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4 porque b=4 e (b/2)^{2}=4.

Passo 3

Aplicar completar quadrados em cada grupo:
Para x^{2}+4x usamos b=4:
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4.
Para y^{2}-6y usamos b=-6:
y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9.
Substituindo na equação inicial:
2\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)+3\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)+20=0.
Agora multiplicar e somar constantes:
2(x+2)^{2}-8 + 3(y-3)^{2}-27 +20 =0.
Somando as constantes -8-27+20=-15, então:
2(x+2)^{2}+3(y-3)^{2}-15=0.

Passo 4

Isolar os quadrados e escrever na forma com lado direito =1 (forma canônica):
2(x+2)^{2}+3(y-3)^{2}=15.
Divido ambos os lados por 15:
\frac{(x+2)^{2}}{15/2}+\frac{(y-3)^{2}}{15/3}=1.
Simplificando os denominadores:
\frac{(x+2)^{2}}{\tfrac{15}{2}}+\frac{(y-3)^{2}}{5}=1.
Esta é a forma canônica de uma elipse. A classificação: trata-se de uma elipse porque os termos quadráticos têm sinais iguais e o lado direito após reorganizar é positivo (soma de quadrados igual a constante positiva).

Passo 5

Identificar a translação necessária (mudar o centro para a origem). Defino novas coordenadas centradas na cônica:
u = x+2,\qquad v = y-3.
Isto corresponde a translação do plano por (-2,\, -3) no sentido de substituir x=u-2, y=v+3, ou dizer que devemos deslocar o sistema original para que o centro fique na origem. Em outras palavras, a translação necessária é mover o centro para (-2,\,3) (vetor de translação: (-2,\,3) aplicado ao centro para levá-lo à origem na nova variável).

Passo 6

Escrever a forma canônica em (u,v). Substituindo u e v temos:
\frac{u^{2}}{\tfrac{15}{2}}+\frac{v^{2}}{5}=1.
Agora identificar a^{2} e b^{2}. Como \tfrac{15}{2}=7{,}5 é maior que 5, o semieixo maior está na direção de u (ou seja, horizontal em (x,y)):
a^{2}=\frac{15}{2},\qquad b^{2}=5.
Portanto
a=\sqrt{\tfrac{15}{2}},\qquad b=\sqrt{5}.
Os vértices estão localizados no centro mais/menos a ao longo do eixo maior (horizontal) e os co-vértices no centro mais/menos b ao longo do eixo menor (vertical). Como o centro é (-2,3):
  • vértices: \bigl(-2\pm \sqrt{\tfrac{15}{2}},\;3\bigr);
  • co-vértices: \bigl(-2,\;3\pm \sqrt{5}\bigr).
    Comprimentos dos eixos:
  • eixo maior: 2a = 2\sqrt{\tfrac{15}{2}};
  • eixo menor: 2b = 2\sqrt{5}.

Passo 7

Calcular focos e excentricidade. Para elipse com eixo maior horizontal valem as relações:
c^{2}=a^{2}-b^{2},\qquad e=\frac{c}{a},
onde c é a distância do centro a cada foco e e a excentricidade. Substituindo:
c^{2}=\frac{15}{2}-5=\frac{15-10}{2}=\frac{5}{2},
logo
c=\sqrt{\tfrac{5}{2}}.
Focos têm coordenadas (no sistema (x,y)):
\bigl(-2\pm \sqrt{\tfrac{5}{2}},\;3\bigr).
Excentricidade:
e=\frac{\sqrt{5/2}}{\sqrt{15/2}}=\sqrt{\frac{5/2}{15/2}}=\sqrt{\frac{5}{15}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 8

Diretrizes (linhas associadas à elipse). Para uma elipse com eixo maior horizontal as diretrizes são retas verticais dadas por
x = h \pm \frac{a}{e},
onde h é a abscissa do centro. Aqui h=-2. Já calculamos a e e, então
\frac{a}{e}=a\cdot\frac{1}{e^{-1}}=a\cdot\frac{1}{(1/\sqrt{3})}=a\sqrt{3}.
Calculo explícito:
\frac{a}{e}=\sqrt{\tfrac{15}{2}}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{\tfrac{45}{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}.
Portanto as diretrizes são
x=-2\pm \frac{3\sqrt{10}}{2}.

Passo 9

Esboço (instruções práticas para desenhar à mão, sem calculadora):
  • Centro: (-2,3).
  • Vértices (aproximações numéricas): a=\sqrt{7{,}5}\approx 2{,}7386, então vértices em aproximadamente (-2\pm2{,}739,\;3) ou seja (-4{,}739,\;3) e (0{,}739,\;3).
  • Co-vértices: b=\sqrt{5}\approx 2{,}2361, então co-vértices em aproximadamente (-2,\;3\pm2{,}236) ou seja (-2,\;0{,}764) e (-2,\;5{,}236).
  • Focos aproximados: c=\sqrt{2{,}5}\approx1{,}5811, então focos em (-3{,}581,\;3) e ( -0{,}419,\;3).
  • Trace a elipse passa pelos vértices e co-vértices, maior extensão na direção horizontal, eixo maior horizontal de comprimento aproximadamente 2\cdot2{,}739\approx5{,}478 e eixo menor aproximadamente 2\cdot2{,}236\approx4{,}472.
  • Marque as diretrizes verticais em x\approx -2\pm 4{,}743 (isto é, x\approx -6{,}743 e x\approx 2{,}743) como referência (elas ficam fora da elipse).
Dica prática: desenhe primeiro o centro, depois os vértices e co-vértices, marque os focos no interior ao longo do eixo maior, e faça uma curva suave unindo os pontos.

Resposta

(a) 2(x+2)^{2}+3(y-3)^{2}=15.
(b) Translação: u=x+2,\;v=y-3 (centro em (-2,3)).
(c) Forma canônica: \dfrac{(x+2)^{2}}{\tfrac{15}{2}}+\dfrac{(y-3)^{2}}{5}=1.
(d) Classificação: elipse (eixos alinhados aos eixos coordenados, maior no sentido horizontal).
(e) Centro: (-2,3). Vértices: \bigl(-2\pm\sqrt{\tfrac{15}{2}},\;3\bigr). Co-vértices: \bigl(-2,\;3\pm\sqrt{5}\bigr). Eixos: eixo maior horizontal de comprimento 2\sqrt{\tfrac{15}{2}}, eixo menor de comprimento 2\sqrt{5}.
(f) Focos: \bigl(-2\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}},\;3\bigr). Excentricidade: e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Diretrizes: x=-2\pm\dfrac{3\sqrt{10}}{2}.
(g) Esboço: elipse centrada em (-2,3), maior extensão horizontal com vértices aproximados em (-4{,}739,3) e (0{,}739,3), co-vértices aproximados em (-2,0{,}764) e (-2,5{,}236), focos aproximados em (-3{,}581,3) e (-0{,}419,3).

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