Para cada equação abaixo:
.
(a) complete quadrados; (b) encontre a translação necessária; (c) escreva a forma canônica; (d) classifique a cônica; (e) determine centro/vértices/eixos; (f) calcule focos/excentricidade ou diretriz; (g) faça um esboço.
(a) complete quadrados; (b) encontre a translação necessária; (c) escreva a forma canônica; (d) classifique a cônica; (e) determine centro/vértices/eixos; (f) calcule focos/excentricidade ou diretriz; (g) faça um esboço.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede, para essa única cônica, as seguintes coisas:
(a) completar os quadrados; (b) encontrar a translação necessária; (c) escrever a forma canônica; (d) classificar a cônica; (e) determinar centro, vértices e eixos; (f) calcular focos, excentricidade e diretrizes; (g) fazer um esboço.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são para
e
para
; não há termo
(ou seja, eixos possivelmente alinhados com os eixos coordenados); existem termos lineares
e
e termo constante
.
(a) completar os quadrados; (b) encontrar a translação necessária; (c) escrever a forma canônica; (d) classificar a cônica; (e) determinar centro, vértices e eixos; (f) calcular focos, excentricidade e diretrizes; (g) fazer um esboço.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são
Passo 2
Agrupar termos em
e em
e preparar para completar quadrados. Primeiro escrevo os termos agrupados:
mantendo o
. Coloco em evidência
no grupo de
e
no de
:
Agora a ideia de completar o quadrado: para uma expressão do tipo
a identidade útil é
Exemplo rápido (aprender o padrão):
porque
e
.
Passo 3
Aplicar completar quadrados em cada grupo:
Para
usamos
:
Para
usamos
:
Substituindo na equação inicial:
Agora multiplicar e somar constantes:
Somando as constantes
, então:
Passo 4
Isolar os quadrados e escrever na forma com lado direito
(forma canônica):
Divido ambos os lados por
:
Simplificando os denominadores:
Esta é a forma canônica de uma elipse. A classificação: trata-se de uma elipse porque os termos quadráticos têm sinais iguais e o lado direito após reorganizar é positivo (soma de quadrados igual a constante positiva).
Passo 5
Identificar a translação necessária (mudar o centro para a origem). Defino novas coordenadas centradas na cônica:
Isto corresponde a translação do plano por
no sentido de substituir
,
, ou dizer que devemos deslocar o sistema original para que o centro fique na origem. Em outras palavras, a translação necessária é mover o centro para
(vetor de translação:
aplicado ao centro para levá-lo à origem na nova variável).
Passo 6
Escrever a forma canônica em
. Substituindo
e
temos:
Agora identificar
e
. Como
é maior que
, o semieixo maior está na direção de
(ou seja, horizontal em
):
Portanto
Os vértices estão localizados no centro mais/menos
ao longo do eixo maior (horizontal) e os co-vértices no centro mais/menos
ao longo do eixo menor (vertical). Como o centro é
:
- vértices:
; - co-vértices:
.
Comprimentos dos eixos: - eixo maior:
; - eixo menor:
.
Passo 7
Calcular focos e excentricidade. Para elipse com eixo maior horizontal valem as relações:
onde
é a distância do centro a cada foco e
a excentricidade. Substituindo:
logo
Focos têm coordenadas (no sistema
):
Excentricidade:
Passo 8
Diretrizes (linhas associadas à elipse). Para uma elipse com eixo maior horizontal as diretrizes são retas verticais dadas por
onde
é a abscissa do centro. Aqui
. Já calculamos
e
, então
Calculo explícito:
Portanto as diretrizes são
Passo 9
Esboço (instruções práticas para desenhar à mão, sem calculadora):
- Centro:
. - Vértices (aproximações numéricas):
, então vértices em aproximadamente ou seja e . - Co-vértices:
, então co-vértices em aproximadamente ou seja e . - Focos aproximados:
, então focos em e . - Trace a elipse passa pelos vértices e co-vértices, maior extensão na direção horizontal, eixo maior horizontal de comprimento aproximadamente
e eixo menor aproximadamente . - Marque as diretrizes verticais em
(isto é, e ) como referência (elas ficam fora da elipse).
Dica prática: desenhe primeiro o centro, depois os vértices e co-vértices, marque os focos no interior ao longo do eixo maior, e faça uma curva suave unindo os pontos.
Resposta
(a)
(b) Translação: (centro em
).
(c) Forma canônica:
(d) Classificação: elipse (eixos alinhados aos eixos coordenados, maior no sentido horizontal).
(e) Centro: . Vértices:
. Co-vértices:
. Eixos: eixo maior horizontal de comprimento
, eixo menor de comprimento
.
(f) Focos: . Excentricidade:
. Diretrizes:
(g) Esboço: elipse centrada em , maior extensão horizontal com vértices aproximados em
e
, co-vértices aproximados em
e
, focos aproximados em
e
.
(b) Translação:
(c) Forma canônica:
(d) Classificação: elipse (eixos alinhados aos eixos coordenados, maior no sentido horizontal).
(e) Centro:
(f) Focos:
(g) Esboço: elipse centrada em