Qual o valor de a \in \mathbb{R} torna a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & a & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
diagonalizável?
(A) a=0
(B) a=-1
(C) a=1
(D) a=2
(E) N.D.A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pergunta qual valor a\in\mathbb{R} faz com que A seja diagonalizável.
Informações relevantes: os elementos da diagonal são 1,1,2; a matriz é triangular superior. A pergunta é única: encontrar o(s) valor(es) de a que tornam A diagonalizável.

Passo 2

Um fato útil (e simples) sobre matrizes triangulares: os autovalores aparecem na diagonal. Logo os autovalores de A são
\lambda_1=1\quad(\text{com multiplicidade algébrica }2),\qquad \lambda_2=2\quad(\text{com multiplicidade algébrica }1).éé
Explicando rapidamente: como a diagonal tem 1,1,2, o polinômio característico terá fator (\lambda-1)^2(\lambda-2), portanto a multiplicidade algébrica de 1 é 2 e a de 2 é 1.

Passo 3

Critério de diagonalizabilidade (explicado devagar): uma matriz n\times n é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores dela. Isso equivale a ter, para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I)) igual à multiplicidade algébrica. Em palavras: precisamos de 2 autovetores independentes associados a \lambda=1 e de 1 autovetor associado a \lambda=2. Se a dimensão do espaço próprio de \lambda=1 for 2, beleza; se for 1, não teremos três autovetores independentes e A não será diagonalizável.

Passo 4

Vamos achar o espaço próprio de \lambda=1, isto é resolver (A-I)x=0. Primeiro escrevemos A-I:
A-I=\begin{pmatrix} 0 & a & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2,x_3)^\top, o sistema (A-I)x=0 dá as equações (linha a linha):
  1. a x_2 - x_3 = 0
  2. 0=0 (linha nula, não impõe nada)
  3. x_3 = 0.
Da terceira equação temos x_3=0. Substituindo na primeira obtemos a x_2 = 0. Agora separamos casos:
  • Se a\neq 0: então a x_2=0 implica x_2=0. Assim x_1 é livre, x_2=0, x_3=0. Portanto o espaço próprio é gerado por (1,0,0)^\top e tem dimensão 1.
  • Se a=0: então a primeira equação vira 0\cdot x_2 - x_3=0 mas já usamos x_3=0, então não há restrição sobre x_2. Assim x_1 e x_2 são livres, x_3=0. O espaço próprio é gerado por (1,0,0)^\top e (0,1,0)^\top e tem dimensão 2.
Portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 2 se, e somente se, a=0; caso contrário é 1.

Passo 5

Para completarmos o raciocínio, verificamos \lambda=2. Resolvendo (A-2I)x=0:
A-2I=\begin{pmatrix} -1 & a & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As equações são:
  1. -x_1 + a x_2 - x_3 = 0
  2. -x_2 = 0 \Rightarrow x_2=0
  3. 0=0.
Com x_2=0 a primeira passa a ser -x_1 - x_3=0\Rightarrow x_1=-x_3. Tomando x_3 livre (por exemplo x_3=1) obtemos o autovetor (-1,0,1)^\top, diferente de zero. Portanto o espaço próprio de \lambda=2 tem dimensão 1 para qualquer a — o que é coerente com a multiplicidade algébrica 1.

Passo 6

Agora juntamos tudo: para diagonalizar precisamos de 3 autovetores independentes no total. A contribuição de \lambda=2 é sempre 1. Para \lambda=1 a contribuição é 2 somente se a=0; caso contrário é 1. Logo:
  • Se a=0: dimensões dos espaços próprios são 2 (para \lambda=1) e 1 (para \lambda=2), total 3 autovetores independentes → A é diagonalizável.
  • Se a\neq 0: dimensão para \lambda=1 é 1, mais 1 de \lambda=2 dá apenas 2 autovetores → A não é diagonalizável.
Portanto o único a\in\mathbb{R} que torna A diagonalizável é a=0.

Resposta

(A) a=0

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