(2,0 pontos) Seja A a seguinte matriz n \times n :
A=\left[\begin{array}{cccc} \lambda & a & \ldots & a \\\ a & \lambda & \ldots & a \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a & a & \ldots & \lambda \end{array}\right]
Mostre que, se \lambda=(1-n) a, então \operatorname{det}(A)=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz A de ordem n com entrada \lambda na diagonal e a fora da diagonal. Precisamos mostrar \det(A)=0 quando \lambda=(1-n)a. O conteúdo é determinante de matrizes via autovalores.
Passo 2
Considere o vetor \mathbf{u} = (1,1,\dots,1)^\mathsf{T}. Para cada componente i de A\mathbf{u} temos