(2,0 pontos) Seja A a seguinte matriz n \times n :
A=\left[\begin{array}{cccc} \lambda & a & \ldots & a \\\ a & \lambda & \ldots & a \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a & a & \ldots & \lambda \end{array}\right]
Mostre que, se \lambda=(1-n) a, então \operatorname{det}(A)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A de ordem n com entrada \lambda na diagonal e a fora da diagonal. Precisamos mostrar \det(A)=0 quando \lambda=(1-n)a. O conteúdo é determinante de matrizes via autovalores.

Passo 2

Considere o vetor \mathbf{u} = (1,1,\dots,1)^\mathsf{T}. Para cada componente i de A\mathbf{u} temos
(A\mathbf{u})_i = \lambda\cdot 1 + \sum_{j\neq i} a\cdot 1 = \lambda + (n-1)a,
o que mostra
A\mathbf{u} = (\lambda + (n-1)a)\,\mathbf{u},
logo \mathbf{u} é autovetor com autovalor \lambda + (n-1)a.

Passo 3

Se \mathbf{v} é qualquer vetor com soma dos componentes igual a zero, ou seja \sum_{i=1}^n v_i = 0, então para cada i
(A\mathbf{v})_i = \lambda v_i + a\sum_{j\neq i} v_j = \lambda v_i + a\bigl(\sum_{j=1}^n v_j - v_i\bigr) = (\lambda - a)\,v_i.
Portanto \mathbf{v} é autovetor com autovalor \lambda - a, de multiplicidade n-1.

Passo 4

Como \mathbf{u} e quaisquer n-1 vetores do espaço \{\mathbf{v}\mid \sum v_i=0\} formam uma base de \mathbb{R}^n, os autovalores de A são
\lambda + (n-1)a \quad\text{e}\quad \lambda - a\quad(\text{multiplicidade }n-1).
Logo
\det(A) = (\lambda + (n-1)a)\,(\lambda - a)^{\,n-1}.

Passo 5

Substituindo \lambda = (1-n)a em \lambda + (n-1)a, obtemos
\lambda + (n-1)a = (1-n)a + (n-1)a = 0,
logo
\det(A) = 0.

Resposta

\det(A)=0 quando \lambda=(1-n)a.

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