Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
( 1,0 ponto) Se C=A B A^{-1} é idempotente, então B é idempotente.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas matrizes quadradas A e B de ordem n, com A invertível, e definimos a matriz C = A\,B\,A^{-1}. O que se pede é mostrar que, se C é idempotente (isto é, satisfaz \,C^2 = C), então B também é idempotente (ou seja, \,B^2 = B). Vamos usar o fato de que similaridade preserva operações algébricas de matrizes.

Passo 2

Vamos calcular C^2 em função de B.
C^2 = (A\,B\,A^{-1})(A\,B\,A^{-1}) = A\,B\,(A^{-1}A)\,B\,A^{-1} = A\,B^2\,A^{-1}

Passo 3

Pela hipótese de idempotência de C, temos
C^2 = C
Substituindo as expressões de C^2 e de C, vem
A\,B^2\,A^{-1} = A\,B\,A^{-1}

Passo 4

Como A é invertível, multiplicamos à esquerda por A^{-1} e à direita por A, o que isola B:
B^2 = B
Isso mostra que B é idempotente.

Resposta

B é idempotente.

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