Sejam
e
matrizes de tamanho
. Prove o seguinte:
( 1,0 ponto) Se
é idempotente, então
é idempotente.
( 1,0 ponto) Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
, com
invertível, e definimos a matriz
. O que se pede é mostrar que, se
é idempotente (isto é, satisfaz
), então
também é idempotente (ou seja,
). Vamos usar o fato de que similaridade preserva operações algébricas de matrizes.
Passo 2
Vamos calcular
em função de
.
Passo 3
Pela hipótese de idempotência de
, temos
Substituindo as expressões de
e de
, vem
Passo 4
Como
é invertível, multiplicamos à esquerda por
e à direita por
, o que isola
:
Isso mostra que
é idempotente.