Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Prove que U+W é um subespaço de V. Além disso, U cup W subset U+W.

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de um espaço vetorial V. Precisamos mostrar que
  1. U+W=,u+wmid uin U,;win W é um subespaço de V, usando o critério de subespaço (conter o zero, fechar em soma e em multiplicação escalar).
  2. Ucup Wsubset U+W.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo de V pertence a U+W. Como U e W são subespaços, têm o vetor nulo de V, que chamamos de 0. Então
0=0+0in U+W

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma. Tomemos x,yin U+W. Então existem u1,u2in U e w1,w2in W tais que
x=u1+w1, y=u2+w2
Logo
x+y=(u1+u2)+(w1+w2)
Como U e W são subespaços, u1+u2in U e w1+w2in W. Portanto x+yin U+W.

Passo 4

Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja alpha escalar e xin U+W com x=u+w. Então
alpha x=alphau+alphaw
Como U e W são subespaços, alphauin U e alphawin W. Logo alpha xin U+W.

Passo 5

Concluímos que U+W contém o vetor nulo, é fechado em soma e em multiplicação escalar. Logo, pelo critério de subespaço, U+W é um subespaço de V.

Passo 6

Para a inclusão Ucup Wsubset U+W, note que
  • se uin U então u=u+0in U+W,
  • se win W então w=0+win U+W.
    Assim qualquer elemento de U ou de W está em U+W.

Resposta

U+W é subespaço de V e Ucup Wsubset U+W.

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