Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
. Prove que
é um subespaço de
. Além disso,
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de um espaço vetorial
. Precisamos mostrar que
-
é um subespaço de , usando o critério de subespaço (conter o zero, fechar em soma e em multiplicação escalar). -
.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo de
pertence a
. Como
e
são subespaços, têm o vetor nulo de
, que chamamos de
. Então
Passo 3
Mostramos fechamento sob soma. Tomemos
. Então existem
e
tais que
Logo
Como
e
são subespaços,
e
. Portanto
.
Passo 4
Mostramos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
escalar e
com
. Então
Como
e
são subespaços,
e
. Logo
.
Passo 5
Concluímos que
contém o vetor nulo, é fechado em soma e em multiplicação escalar. Logo, pelo critério de subespaço,
é um subespaço de
.
Passo 6
Para a inclusão
, note que
- se
então , - se
então .
Assim qualquer elemento deou de está em .