( 1,5 ponto) No espaço vetorial R^3, consideremos os subespaços:
U=(x, y, z) ; y=x+z e W=(x, 0,0) ; x in R
(a) Determine os subespaços U cap W e U+W;
(b) R^3 é soma direta de U com W ? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com os subespaços
U=(x,y,z)inR^3 : y = x + z e W=(x,0,0)inR^3 : xinR,
e determinar (a) a interseção Ucap W e a soma U+W, e (b) verificar se R^3 é soma direta de U com W. Vamos usar parametrização, cálculo de dimensão e o critério de soma direta (interseção trivial mais soma igual ao espaço).

Passo 2

Parametrizamos U e W para encontrar bases e dimensões.
Em U a condição y = x+z permite escrever
(x,y,z) = (x,,x+z,,z) = x,(1,1,0) + z,(0,1,1),
portanto uma base de U é
u1=(1,1,0), u2=(0,1,1),
e dim U = 2.
Em W todo vetor é (x,0,0)=x,(1,0,0), logo base de W é
w1=(1,0,0),
e dim W = 1.

Passo 3

Para Ucap W buscamos vetores que estejam em ambas:
se vin Ucap W então v=(a,0,0) (porque está em W) e deve satisfazer a condição de U:
0 = y = x+z = a + 0 ;Longrightarrow; a=0
Logo v=(0,0,0) é o único elemento, ou seja
Ucap W = (0,0,0)

Passo 4

A soma U+W é um subespaço cuja dimensão satisfaz
dim(U+W) = dim U + dim W - dim(Ucap W) = 2 + 1 - 0 = 3
Como dim(U+W)=3=dimR^3, segue que
U+W = R^3

Passo 5

Para ser soma direta de U com W precisamos de duas condições:
1. Ucap W=0, já verificamos.
2. U+W=R^3, também verificamos.
Portanto
R^3 = Uoplus W

Resposta

(a) U cap W = (0,0,0)
\quad e\quad
U + W = R^3
(b) Sim. Como U cap W = 0 e U + W = R^3, temos R^3 = U oplus W.

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