( 1,5 ponto) No espaço vetorial
, consideremos os subespaços:
(a) Determine os subespaços
e
;
(b)
é soma direta de
com
? Justifique!
(b)
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com os subespaços
e determinar (a) a interseção
e a soma
, e (b) verificar se
é soma direta de
com
. Vamos usar parametrização, cálculo de dimensão e o critério de soma direta (interseção trivial mais soma igual ao espaço).
Passo 2
Parametrizamos
e
para encontrar bases e dimensões.
Em a condição
permite escrever
Em
portanto uma base de
é
e
.
Em todo vetor é
, logo base de
é
Em
e
.
Passo 3
Para
buscamos vetores que estejam em ambas:
se então
(porque está em
) e deve satisfazer a condição de
:
se
Logo
é o único elemento, ou seja
Passo 4
A soma
é um subespaço cuja dimensão satisfaz
Como
, segue que
Passo 5
Para ser soma direta de
com
precisamos de duas condições:
.
, já verificamos.
.
, também verificamos.
Portanto
Portanto
Resposta
(a)
\quad e\quad
\quad e\quad
(b) Sim. Como
e
, temos
.