Listei aqui explicitamente a matriz (cada entrada está no lugar certo) e as opções de resposta. A partir daqui vamos calcular passo a passo o determinante.
Passo 2
Primeiro, uma pequena aula-prática sobre operações com determinantes (coisas que vou usar):
Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante: se B é obtida de A trocando duas linhas, então \det(B)=-\det(A).
Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante: se uma linha L_i é substituída por L_i+kL_j (com k qualquer) o determinante permanece igual.
Se numa matriz tivermos uma linha que começa com 1 e zeros abaixo nessa coluna, podemos expandir pela primeira coluna: o determinante será esse 1 multiplicado pelo determinante do menor correspondente.
Essas propriedades são úteis para simplificar a matriz e calcular determinantes sem fazer expansão direta por cofatores em todas as entradas.
Exemplo rápido (para fixar): para a matriz
\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
se eu substituir a segunda linha por \text{segunda} - 3\cdot\text{primeira} obtenho
\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix},
o determinante permanece 1\cdot(-2)-2\cdot0=-2, que é igual ao determinante original 1\cdot4-2\cdot3=-2.
Passo 3
Aplico uma operação útil: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter um pivô 1 no canto superior esquerdo (isso facilita eliminações). Faço \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2. Pelo que vimos, essa troca inverte o sinal do determinante.
Vamos calcular \det(M). Uso operações por linhas no 3\times3 para simplificar: substituo \text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-\text{R}_1 e \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3-\text{R}_1. Essas operações não alteram o determinante.