Q1: Calcule \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{rrrr}0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 7 & 6 & 5 \\\\ -1 & 4 & 4 & 2\end{array}\right]\right).
(A) -14
(B) -13
(C) -12
(D) -11
(E) -10
(F) -9

Passo 1

O enunciado pede: calcular \det da matriz
A=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 7 & 6 & 5 \\\\ -1 & 4 & 4 & 2 \end{array}\right]
e escolher a alternativa correta entre:
\text{(A) }-14,\quad \text{(B) }-13,\quad \text{\text{(C)} }-12,\quad \text{(D) }-11,\quad \text{(E) }-10,\quad \text{(F) }-9.
Listei aqui explicitamente a matriz (cada entrada está no lugar certo) e as opções de resposta. A partir daqui vamos calcular passo a passo o determinante.

Passo 2

Primeiro, uma pequena aula-prática sobre operações com determinantes (coisas que vou usar):
  • Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante: se B é obtida de A trocando duas linhas, então \det(B)=-\det(A).
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante: se uma linha L_i é substituída por L_i+kL_j (com k qualquer) o determinante permanece igual.
  • Se numa matriz tivermos uma linha que começa com 1 e zeros abaixo nessa coluna, podemos expandir pela primeira coluna: o determinante será esse 1 multiplicado pelo determinante do menor correspondente.
    Essas propriedades são úteis para simplificar a matriz e calcular determinantes sem fazer expansão direta por cofatores em todas as entradas.
Exemplo rápido (para fixar): para a matriz
\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
se eu substituir a segunda linha por \text{segunda} - 3\cdot\text{primeira} obtenho
\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix},
o determinante permanece 1\cdot(-2)-2\cdot0=-2, que é igual ao determinante original 1\cdot4-2\cdot3=-2.

Passo 3

Aplico uma operação útil: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter um pivô 1 no canto superior esquerdo (isso facilita eliminações). Faço \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2. Pelo que vimos, essa troca inverte o sinal do determinante.
A matriz depois da troca é
B=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 2 & 7 & 6 & 5 \\\\ -1 & 4 & 4 & 2 \end{array}\right],
e valem \det(B)=-\det(A).

Passo 4

Agora uso eliminações por linhas (essas não alteram o determinante) para zerar os elementos abaixo do pivô 1 na primeira coluna.
  • Substituo \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\cdot\text{R}_1.
  • Substituo \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + 1\cdot\text{R}_1.
Calculemos as novas linhas:
\text{R}_3 - 2\cdot\text{R}_1 = [2,7,6,5] - 2\cdot[1,1,1,1] = [0,5,4,3],
\text{R}_4 + \text{R}_1 = [-1,4,4,2] + [1,1,1,1] = [0,5,5,3].
A matriz fica
B=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 5 & 4 & 3 \\\\ 0 & 5 & 5 & 3 \end{array}\right].
Repare que essas operações não mudaram \det(B); portanto continuamos com \det(B)=-\det(A).

Passo 5

Agora que a primeira coluna tem a forma [1,0,0,0]^T, podemos usar a expansão por cofatores na primeira coluna de maneira simples:
\det(B)=1\cdot\det(M),
onde M é o menor 3\times3 obtido removendo a primeira linha e a primeira coluna:
M=\left[\begin{array}{rrr} 5 & 5 & 5 \\\\ 5 & 4 & 3 \\\\ 5 & 5 & 3 \end{array}\right].
Logo \det(B)=\det(M).

Passo 6

Vamos calcular \det(M). Uso operações por linhas no 3\times3 para simplificar: substituo
\text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-\text{R}_1 e \text{R}_3\leftarrow \text{R}_3-\text{R}_1. Essas operações não alteram o determinante.
Cálculos:
\text{R}_2-\text{R}_1 = [5,4,3]-[5,5,5]=[0,-1,-2],
\text{R}_3-\text{R}_1 = [5,5,3]-[5,5,5]=[0,0,-2].
Então a matriz fica
M=\left[\begin{array}{rrr} 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right].

Passo 7

Agora M é triangular superior, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Assim
\det(M)=5\cdot(-1)\cdot(-2)=5\cdot 2=10.
(Confirme mentalmente: a diagonal é 5,\,-1,\,-2; multiplicando dá 10.)

Passo 8

Voltando: \det(B)=\det(M)=10. Lembre que na troca inicial de linhas nós obtivemos \det(B)=-\det(A). Portanto
\det(A)=-\det(B)=-10.

Resposta

(\mathrm{E}) -10

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