(3 pontos) Seja y=f(x)=x+1x^3+1.
(a) Determine o domínio de f(x) e os pontos de interseção do gráfico de y=f(x) com os eixos.
(b) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e decrescente.
(c) Determine os intervalos onde f(x) é côncava para baixo e côncava para cima.
(d) Determine os máximos e mínimos locais de f(x), se existirem.
Dados:
f^prime(x)=1-2 x(x^2-x+1)^2, f^prime prime(x)=6(x-1) x(x^2-x+1)^3

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x+1x^3+1 e pede: (a) domínio e interseções com os eixos; (b) intervalos de crescimento e decrescimento; (c) intervalos de concavidade para cima e para baixo; (d) extremos locais. Para resolver, vamos usar as derivadas já fornecidas.

Passo 2

Para achar o domínio, notamos que o denominador não pode ser zero, ou seja . Logo o domínio é . A interseção com o eixo satisfaz , ou seja , mas esse ponto não está no domínio, logo não há intercepto em . A interseção com o eixo ocorre em , dando , isto é o ponto .

Passo 3

Para estudar monotonicidade analisamos
f'(x)=1-2x(x^2-x+1)^2
Note que x^2-x+1>0 para todo x, pois o discriminante De<a=(-1)^2-4cdot1cdot1=-3<0. Assim o sinal de f' é o sinal de 1-2x. Tem-se 1-2x>0 se x<tfrac12 e 1-2x<0 se x>tfrac12. Combinando com o domínio, f é crescente em (-infty,-1)cup(-1,tfrac12) e decrescente em (tfrac12,infty).

Passo 4

Para examinar a concavidade usamos
f''(x)=6x(x-1)(x^2-x+1)^3
O denominador é sempre positivo, então o sinal de f'' vem de x(x-1). Assim f''>0 (concavidade para cima) quando x<0 ou x>1, e f''<0 (concavidade para baixo) quando 0<x<1. Levando em conta xneq-1, concluímos que f é côncava para cima em (-infty,-1)cup(-1,0)cup(1,infty) e para baixo em (0,1).

Passo 5

Os pontos críticos ocorrem onde f'=0 ou não está definida. Vimos que f' só zera em x=tfrac12; não há descontinuidade de f' no domínio. Como f' passa de positivo para negativo em x=tfrac12, há um máximo local em x=tfrac12. Calculamos
fl(tfrac12r) =tfrac12+1(tfrac12)^3+1 =tfrac32tfrac18+1 =tfrac32tfrac98 =43
Não há mínimo local.

Resposta

(a) Domínio . Sem intercepto em ; intercepto em no ponto .\n
(b) é crescente em e decrescente em .\n
(c) é côncava para cima em e côncava para baixo em .\n
(d) Há máximo local em e não há mínimo local.

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