(3 pontos) Seja
.
(a) Determine o domínio de
e os pontos de interseção do gráfico de
com os eixos.
(b) Determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(c) Determine os intervalos onde
é côncava para baixo e côncava para cima.
(d) Determine os máximos e mínimos locais de
, se existirem.
Dados:
(a) Determine o domínio de
(b) Determine os intervalos onde
(c) Determine os intervalos onde
(d) Determine os máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado dá
e pede: (a) domínio e interseções com os eixos; (b) intervalos de crescimento e decrescimento; (c) intervalos de concavidade para cima e para baixo; (d) extremos locais. Para resolver, vamos usar as derivadas já fornecidas.
Passo 2
Para achar o domínio, notamos que o denominador não pode ser zero, ou seja
. Logo o domínio é . A interseção com o eixo
satisfaz
, ou seja
, mas esse ponto não está no domínio, logo não há intercepto em
. A interseção com o eixo
ocorre em
, dando
, isto é o ponto
.
Passo 3
Para estudar monotonicidade analisamos
Note que
para todo
, pois o discriminante
. Assim o sinal de
é o sinal de
. Tem-se
se
e
se
. Combinando com o domínio,
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 4
Para examinar a concavidade usamos
O denominador é sempre positivo, então o sinal de
vem de
. Assim
(concavidade para cima) quando
ou
, e
(concavidade para baixo) quando
. Levando em conta
, concluímos que
é côncava para cima em
e para baixo em
.
Passo 5
Os pontos críticos ocorrem onde
ou não está definida. Vimos que
só zera em
; não há descontinuidade de
no domínio. Como
passa de positivo para negativo em
, há um máximo local em
. Calculamos
Não há mínimo local.
Resposta
(a) Domínio . Sem intercepto em
; intercepto em
no ponto
.\n
(b) é crescente em
e decrescente em
.\n
(c) é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.\n
(d) Há máximo local em e não há mínimo local.
(b)
(c)
(d) Há máximo local em