Questão 2.(2.0) Determine partial hpartial u onde h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)) no seguinte caso:
f(x, y)=(x+y) sen(x y), x(u, v)=u^2 v, y(u, v)=e^u v

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial partial h/partial u de uma função composta
h(u,v)=fl(x(u,v),,y(u,v)r),
onde
f(x,y)=(x+y)sin(xy), x(u,v)=u^2v, y(u,v)=e^uv
O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais:
partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a u.
Para x(u,v)=u^2v,
partial xpartial u =2u,v
Para y(u,v)=e^uv,
partial ypartial u =v,e^uv

Passo 3

Agora derivamos f(x,y)=(x+y)sin(xy) em relação a x e y.
Usando produto e regra da cadeia,
partial fpartial x =underbrace1partial(x+y)/partial xsin(xy) +(x+y)cos(xy)underbracepartial(xy)partial xy,
logo
partial fpartial x =sin(xy)+y(x+y)cos(xy)
De modo análogo,
partial fpartial y =sin(xy)+x(x+y)cos(xy)

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u
Substituindo os resultados obtidos nos passos anteriores,
partial hpartial u =l[sin(xy)+y(x+y)cos(xy)r],(2u,v) +l[sin(xy)+x(x+y)cos(xy)r],(v,e^uv)

Passo 5

Por fim, voltamos a expressar x e y em termos de u,v, onde
x=u^2v, y=e^uv, xy=u^2v,e^uv
Assim,
partial hpartial u =2u,vl[sinl(u^2v,e^uvr) +e^uvl(u^2v+e^uvr)cosl(u^2v,e^uvr)r] +v,e^uvl[sinl(u^2v,e^uvr) +u^2vl(u^2v+e^uvr)cosl(u^2v,e^uvr)r]

Resposta

partial hpartial u =2u,vl[sin(xy)+y(x+y)cos(xy)r] +v,e^uvl[sin(xy)+x(x+y)cos(xy)r],
com x=u^2v e y=e^uv.

Exercícios relacionados