Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
(3 x-4)(2-x)x >= 0

Passo 1

Beleza, a gente quer resolver a inequação racional
(3x - 4)(2 - x)x >= 0
Isso é conteúdo de inequações racionais: vamos achar onde o numerador e o denominador mudam de sinal e estudar cada região da reta.

Passo 2

Primeiro, o domínio exige x neq 0. Em seguida, achamos as raízes do numerador:
3x - 4 = 0 implies x = tfrac43,
2 - x = 0 implies x = 2
Esses valores ( 0,tfrac43,2) dividem a reta em quatro intervalos.

Passo 3

Vamos ver o sinal de cada fator:
,3x-4<0 para x<tfrac43 e ,3x-4>0 para x>tfrac43.
,2-x>0 para x<2 e ,2-x<0 para x>2.
,x<0 em (-infty,0) e ,x>0 em (0,infty).
Agora, em cada intervalo:
Em x<0:
(3x-4)<0, (2-x)>0, x<0
implies (3x-4)(2-x)x=(-)times(+)div(-)=+.
Em 0<x<tfrac43:
(3x-4)<0, (2-x)>0, x>0
implies (-)times(+)div(+)= -.
Em tfrac43<x<2:
(3x-4)>0, (2-x)>0, x>0
implies (+)times(+)div(+)=+.
Em x>2:
(3x-4)>0, (2-x)<0, x>0
implies (+)times(-)div(+)= -.

Passo 4

Queremos (3x - 4)(2 - x)x>=0, ou seja, fração positiva ou zero. Isso ocorre em
(-infty,0) e (tfrac43,2) (sinal +)
e também zera em x=tfrac43 e x=2. Lembrando que x=0 está fora do domínio.

Resposta

(-infty,0),cup,[tfrac43,2]

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