Usando os conceitos de diferencial de uma função, e sua relação com a primitiva, prove que:
integral cos ^4 x cdot d x=cos ^3 x cdot sen x4+38 cdot cos x cdot sen x+38 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para provar que a integral de cos^4 x em relação a x é igual a cos^3 x cdot sin x4 + 38 cdot cos x cdot sin x + 38 x. Vamos usar conceitos de diferenciais e primitivas para resolver isso. Basicamente, vamos integrar cos^4 x passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar cos^4 x, podemos usar a identidade trigonométrica que ajuda a reduzir potências de cosseno. Sabemos que cos^2 x = 1 + cos 2x2. Então, para cos^4 x, podemos escrever:
cos^4 x = (cos^2 x)^2 = (1 + cos 2x2)^2
Isso vai facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
(1 + cos 2x2)^2 = 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4
Então, a integral fica:
integral cos^4 x , dx = 14 integral (1 + 2cos 2x + cos^2 2x) dx

Passo 4

Precisamos integrar cada termo separadamente. Vamos começar com os dois primeiros:
14 integral 1 , dx = 14 x
14 integral 2cos 2x , dx = 24 cdot sin 2x2 = sin 2x4

Passo 5

Agora, temos que lidar com cos^2 2x. Usamos novamente a identidade trigonométrica:
cos^2 2x = 1 + cos 4x2
Então, a integral fica:
14 integral cos^2 2x , dx = 14 integral 1 + cos 4x2 , dx = 18 integral 1 , dx + 18 integral cos 4x , dx

Passo 6

Integrando os termos:
18 integral 1 , dx = 18 x
18 integral cos 4x , dx = 18 cdot sin 4x4 = sin 4x32

Passo 7

Agora, juntando tudo:
integral cos^4 x , dx = 14 x + sin 2x4 + 18 x + sin 4x32 + C
Simplificando os termos com x:
14 x + 18 x = 38 x
Então:
integral cos^4 x , dx = 38 x + sin 2x4 + sin 4x32 + C

Passo 8

Agora, precisamos ajustar os termos trigonométricos para chegar na forma que foi pedido no enunciado. Usamos identidades de múltiplos ângulos para reescrever sin 2x e sin 4x em termos de sin x e cos x:
sin 2x = 2 sin x cos x
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x (2 cos^2 x - 1)
Substituindo essas expressões na integral:
sin 2x4 = 2 sin x cos x4 = sin x cos x2
sin 4x32 = 4 sin x cos x (2 cos^2 x - 1)32 = sin x cos x (2 cos^2 x - 1)8

Passo 9

Agora, juntando tudo:
integral cos^4 x , dx = 38 x + sin x cos x2 + sin x cos x (2 cos^2 x - 1)8 + C
Simplificando os termos com sin x cos x:
sin x cos x2 + sen x cos x (2 cos^2 x - 1)8 = 4 sin x cos x + sen x cos x (2 cos^2 x - 1)8 = 3 sin x cos x8 + 2 sin x cos^3 x8
Então:
integral cos^4 x , dx = 38 x + 38 sin x cos x + sin x cos^3 x4 + C

Resposta

Portanto, a integral de cos^4 x em relação a x é:
integral cos^4 x , dx = cos^3 x cdot sin x4 + 38 cdot cos x cdot sin x + 38 x + C
Onde C é a constante de integração.

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