Usando os conceitos de diferencial de uma função, e sua relação com a primitiva, prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para provar que a integral de
em relação a
é igual a
. Vamos usar conceitos de diferenciais e primitivas para resolver isso. Basicamente, vamos integrar
passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para integrar
, podemos usar a identidade trigonométrica que ajuda a reduzir potências de cosseno. Sabemos que
. Então, para
, podemos escrever:
Isso vai facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 4
Precisamos integrar cada termo separadamente. Vamos começar com os dois primeiros:
Passo 5
Agora, temos que lidar com
. Usamos novamente a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando os termos:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos com
:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos ajustar os termos trigonométricos para chegar na forma que foi pedido no enunciado. Usamos identidades de múltiplos ângulos para reescrever
e
em termos de
e
:
Substituindo essas expressões na integral:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Simplificando os termos com
:
Então:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.