( pontos) Sejam f(x)=2-3 x, x in[-1,5) e g(x)=5-x-2 x^2, x in(1,10). Encontrar:
a) (g circ f)(x)
b) D(g circ f)

Passo 1

O enunciado pede a composição de funções (gcirc f)(x) e o domínio dessa composição. Aqui estamos usando o conceito de composição de funções, em que primeiro aplicamos f e depois aplicamos g ao resultado, e depois precisamos verificar as restrições de domínio: x deve estar no domínio de f e f(x) deve estar no domínio de g.

Passo 2

Primeiro escrevemos
(fcirc g)(x)=gl(f(x)r)
Como f(x)=2-3x, substituímos em g(u)=5-u-2u^2 com u=f(x):
(gcirc f)(x) =5 - l(2-3xr) ;-;2l(2-3xr)^2
Agora simplificamos passo a passo:
5 - (2-3x)=3+3x,
(2-3x)^2=4 -12x+9x^2,
2l(4 -12x+9x^2r)=8 -24x+18x^2
Juntando tudo:
(gcirc f)(x) =(3+3x);-;(8 -24x+18x^2) =-5 +27x -18x^2

Passo 3

Para determinar o domínio de (gcirc f) precisamos que:
  1. x esteja no domínio de f, ou seja -1<= x<5.
  2. f(x) esteja no domínio de g, ou seja 1<f(x)<10.
Como f(x)=2-3x, impomos
1<2-3x<10
Resolvendo as duas desigualdades:
1<2-3ximplies -3x>-1implies x<tfrac13,
2-3x<10implies -3x<8implies x>-tfrac83
Logo x deve satisfazer
-tfrac83<x<tfrac13
e simultaneamente -1<= x<5. A interseção desses intervalos é
-1<= x<tfrac13
Note que em x=1/3 teríamos f(x)=1, mas 1 não está em (1,10), então mantemos a fronteira x<1/3 estrita.

Resposta

(gcirc f)(x)=-18x^2+27x-5,
D(gcirc f)=[-1,tfrac13)

Exercícios relacionados