a) Seja G um grupo, e
seu elemento neutro. Se
tem ordem n e
. Prove que
isto é, que
divide
b) Seja G um grupo, e
seu elemento neutro. Se os unicos subgrupos de G são
, prove que G é finito e a ordem de G é um número primo.
b) Seja G um grupo, e
Passo 1
O enunciado tem duas partes: na parte (a) queremos mostrar que se um elemento
de ordem
satisfaz
, então
divide
. Na parte (b) queremos provar que se o único subgrupo de
além do trivial é o próprio
, então
é finito e sua ordem é um número primo. Vamos usar definição de ordem de elemento, algoritmo da divisão, e propriedades de grupos cíclicos e seus subgrupos.
Passo 2
Para a parte (a), aplicamos o algoritmo da divisão a
por
: existem inteiros
e
tais que
Então reescrevemos
Passo 3
Como
, obtemos
. Pela definição de ordem, o menor expoente positivo que faz
é
. Logo, sendo
e
, só pode ocorrer
. Assim
, ou seja,
.
Passo 4
Para a parte (b), tome um elemento
em
. Seu subgrupo gerado
não é o trivial, então deve ser todo
. Logo
é cíclico gerado por
. Se fosse infinito, como grupo cíclico isomorfo a
, existiriam infinitos subgrupos (por exemplo
,
, etc.), o que contradiz o fato de só existirem os subgrupos
e
. Portanto
é finito.
Passo 5
Como
é um grupo cíclico finito de ordem
, sabemos que existe exatamente um subgrupo de ordem
para cada divisor
de
. Mas, pelo enunciado, os únicos subgrupos têm ordem 1 e
. Logo os únicos divisores de
são 1 e
, o que significa que
é primo.
Resposta
a)
. b)
é finito e
é primo.