a) Seja G um grupo, e e seu elemento neutro. Se a in G tem ordem n e a^k=e. Prove que n mid k isto é, que n divide k
b) Seja G um grupo, e e seu elemento neutro. Se os unicos subgrupos de G são H=e e H=G, prove que G é finito e a ordem de G é um número primo.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: na parte (a) queremos mostrar que se um elemento a de ordem n satisfaz a^k = e, então n divide k. Na parte (b) queremos provar que se o único subgrupo de G além do trivial é o próprio G, então G é finito e sua ordem é um número primo. Vamos usar definição de ordem de elemento, algoritmo da divisão, e propriedades de grupos cíclicos e seus subgrupos.

Passo 2

Para a parte (a), aplicamos o algoritmo da divisão a k por n: existem inteiros q e r tais que
k = qn + r, 0 <= r < n
Então reescrevemos
a^k = a^qn+r = (a^n)^q cdot a^r = e^q cdot a^r = a^r

Passo 3

Como a^k = e, obtemos a^r = e. Pela definição de ordem, o menor expoente positivo que faz a^m = e é n. Logo, sendo 0 <= r < n e a^r = e, só pode ocorrer r = 0. Assim k = qn, ou seja, n mid k.

Passo 4

Para a parte (b), tome um elemento a neq e em G. Seu subgrupo gerado lang<= arang<= não é o trivial, então deve ser todo G. Logo G é cíclico gerado por a. Se fosse infinito, como grupo cíclico isomorfo a Z, existiriam infinitos subgrupos (por exemplo 2 Z, 3 Z, etc.), o que contradiz o fato de só existirem os subgrupos e e G. Portanto G é finito.

Passo 5

Como G é um grupo cíclico finito de ordem n = |G|, sabemos que existe exatamente um subgrupo de ordem d para cada divisor d de n. Mas, pelo enunciado, os únicos subgrupos têm ordem 1 e n. Logo os únicos divisores de n são 1 e n, o que significa que n é primo.

Resposta

a) nmid k. b) G é finito e |G| é primo.

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